Question

O ponto A (4; -5) é vértice de um quadrado que tem uma de suas diagonais sobre a reta 7x-y+8=0. Calcular a área do quadrado.
Resposta: 67,24

Answer 1

QUESTÃO CHATA DEMAIS, mas gostosa de resolver kkk, vamos lá..

A questão diz que uma das diagonais do quadrado que tem o vértice A(4, -5), está passando sobre a reta 7x - y + 8 = 0, ou seja, essa diagonal está passado exatamente em cima da reta. Como sabemos um quadrado tem duas diagonais, sendo que elas são perpendiculares entre si pois elas se cruzam no centro do quadrado formando um ângulo de 90°.

Então se você analisar, tem uma diagonal em cima da reta e a outra diagonal cruzando a reta, sendo que a reta está cortando essa diagonal no meio exato.

Agora vamos para a parte da resolução. A questão nos deu o ponto de um dos vértices do quadrado A(4, -5). Analisando o enunciado percebemos que a diagonal que corta a reta parte desse ponto, então vamos calcular a distância entre esse ponto e a reta 7x - y + 8 = 0. Pela fórmula:

$d=\frac{|ax0+by0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$d=\frac{|7*4-(-5)+8|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}$

$d=\frac{41}{\sqrt{50}}$

Encontramos a distância entre o ponto e a reta. Como você disse, na resolução utilizou D/2, que é o comprimento da diagonal dividido por 2. Bom, como eu disse anteriormente, a reta corta a diagonal ao meio, ou seja, esse valor entre o ponto e a reta é a metade do valor total da diagonal do quadrado. Sendo assim, é só igualar a distância encontrada com D/2. Fica assim:

$\frac{D}{2}=\frac{41}{\sqrt{50}}$

$\sqrt{50}D=82$

$D=\frac{82}{\sqrt{50}}$

Encontramos o tamanho real da diagonal. Agora imagine um quadrado cortado por uma diagonal... se você perceber ele se divide em dois triângulos exatamente iguais, com a diagonal sendo a hipotenusa e os outros lados sendo os catetos. É aí que entra o teorema de Pitágoras.

$a^2=b^2+c^2$

$(\frac{82}{\sqrt{50}})^2=l^2 + l^2$

$\frac{6724}{50}=2l^2$

$134,48=2l^2$

$l^2=\frac{134,48}{2}$

$l^2=67,24$

Só um detalhe: l² é a mesma coisa que lado x lado, ou seja, é a forma que se calcula a área de um quadrado. Utilizei apenas a letra l no teorema de Pitágoras porque o quadrado tem os lados iguais, e consequentemente os catetos também são iguais.

UFA! É isso, espero que você entenda. Se tiver dúvida comenta aí td bem? Bons estudos! =p