Question

o polinômio x³+2x²+px+q é divisível pelo polinômio x²+x+1. nesse caso, o valor de p+q é igual a:?

Answer 1

Olá Pedro!

Sabe-se que:

$\mathbf{D = d \cdot Q + r}$

Onde, D é o dividendo, d o divisor, Q o quociente e r o resto.

 Isto posto, temos que:

$\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 + px + q = (x^2 + x + 1) \cdot Q + r}$

 Ora, como o polinômio é divisível, então temo $\mathbf{r = 0}$. Além disso, o grau de Q é UM. Desse modo, considere $\mathbf{Q = ax + b}$. Segue,

$\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 + px + q = (x^2 + x + 1) \cdot (ax + b)} \\\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 + px + q = ax^3 + bx^2 + ax^2 + bx + ax + b} \\\\ \mathsf{x^3 + 2x^2 + px + q = ax^3 + (a + b)x^2 + (a + b)x + b}$

 Ora, comparando-as membro a membro,

$\begin{cases} \mathsf{a = 1} \\ \mathsf{a + b = 2} \\ \mathsf{a + b = p} \\ \mathsf{b = q} \end{cases}$

 Daí, temos que $\boxed{\mathsf{a = 1}}$. E,

$\\ \mathsf{a + b = 2} \\\\ \mathsf{1 + b = 2} \\\\ \boxed{\mathsf{b = 1}}$


 Por fim,

$\mathsf{b = \boxed{\boxed{\mathsf{q = 1}}}}$

E,

$\mathsf{a + b = \boxed{\boxed{\mathsf{p = 2}}}}$