Question

O polinômio $\mathbf{x^3 + px^2 + q}$ é divisível por $\mathbf{x^2 + mx - 1}$. Determine a relação entre "p" e "q".

Answer 1

Olá Dan.


Uma equação do terceiro grau dividido por uma equação do segundo grau, resultará em uma equação do primeiro grau de formato: ax + b.

Portanto temos a seguinte expressão.


$\mathsf{(x^2 + mx - 1)\cdot(ax + b) = x^3+px^2+q}\\\\\mathsf{ax^3 + amx^2 - ax + bx^2 + bmx - b = x^3 + px^2 + q}\\\\\mathsf{ax^3 + amx^2 + bx^2 - ax - b + bmx = x^3 + px^2 + q}\\\\\mathsf{ax^3 + amx^2 + bx^2 -a x - b + bmx = x^3 + px^2 + q}\\\\\mathsf{ax^3 + (m + b)x^2 + (bm-a)x - b = x^3 + px^2+q}$

Agora basta fazer uma comparação termo a termo. 

$\mathsf{a=1}\\\\\mathsf{x^3 + (m + b)x^2 + (bm-1)x - b = x^3 + px^2+\boxed{\mathsf{0x}}+q}\\\\\mathsf{bm-1=0x}\\\mathsf{bm=1}~\\\mathsf{m=\dfrac{1}{b}}~(i)\\\\\\\mathsf{m+b=p}~(ii)\\\\\mathsf{-b=q}\\\mathsf{b=-q}~(iii)\\\\\\\mathsf{Substituindo}~ (i)~\mathsf{e}~(ii):\\\\\mathsf{\dfrac{1}{b}+b=p~}(iv)\\\\\\\mathsf{Substituindo}~(iii)\mathsf{~e}~(iv)\\\\\boxed{\mathsf{-\dfrac{1}{q}-q=p}}$



Dúvidas? comente.