Question

o polinômio p(x) = x⁴ - 5x³ + 3x² + 5x - 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a:
a)3
b)4
c)5
d)6​

Answer 1

A nossa equação é a seguinte:

$x^4-5x^3+3x^2+5x-4=0$

E sabemos que ela tem no máximo 3 raízes, especificamente, uma dupla em 1.

$(x-1)^2(x-\alpha)(x-\beta)=0$

Sabemos também que $(x-\alpha)(x-\beta)$  deve ser igual  a:

$\frac{x^4-5x^3+3x^2+5x-4}{(x-1)^2} = x^2-3x-4$

Fatorizando, $(x-1)^2(x^2-3x-4) = (x-1)^2(x-4)(x+1)$ = 0

x = 1, 4 , -1

Então a resposta é $|-1-4| = |-5| = 5$.

Answer 2

Resposta:

c) 5.

Explicação passo-a-passo:

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

Assim,

P(x) = x⁴ − 5x³ + 3x² + 5x − 4 = (x − 1)²(x² − 3x − 4) = (x − 1)²(x − 4)(x + 1)

 

Portanto, como as outras duas raízes são 4 e −1, o valor absoluto da diferença entre essas raízes é  | −1 − 4 | = | − 5 | = 5.