Question

O polinômio P(x) = X³ + px² - qx - 6 é divisível por x² - 3x + 2

Qual é o valor de p e q ?​

Answer 1

Resposta:

1) Primeira maneira

x³ + px² - qx - 6 = (x²-3x+2)*(ax+b)

x³ + px² - qx - 6 =ax³+bx²-3ax²-3bx+2ax+2b

x³ + px² - qx - 6 =ax³+x²*(b-3a)-x*(-2a+3b)+2b

x³=ax³ ==>a=1

px²=x²(b-3a) ==> p=b-3a

qx=x*(3a+3b) ==> q=-2a+3b

-6=2b ==>b=-3

a=1  e b=-3

p=b-3a=-3-3 = -6

q=-2a+3b=-2-9 = -11

2) Segunda Maneira

x² - 3x + 2 =0

x'=[3+√(9-8)]/2=(3+1)/2=2

x''=[3-√(9-8)]/2=(3-1)/2=1

P(2) = 2³ + p*2² - q*2 - 6=0  

==> 8+4p-2q-6=0  ==>4p-2q+2=0 ==>2p-q+1=0  (i)

P(1)=1+p-q-6=0  ==>p-q-5=0  (ii)

(i)-(ii)

p+6=0  ==>p=-6

Usando (ii)  ==> -6-q-5=0 ==>q = -11

3) Terceira maneira

Dispositivo de Ruffini

x² - 3x + 2 =0

x'=[3+√(9-8)]/2=(3+1)/2=2

x''=[3-√(9-8)]/2=(3-1)/2=1

P(x) = X³ + px² - qx - 6

   |     1     |     p     |    -q            |    -6

1   |     1     |   1+p   |  1+p-q         |     1+p-q-6=0

2  |     1     |   3+p  |  7+3p-q  =0

{p-q-5=0     (i)

{3p-q+7=0  (ii)

(i)-(ii)

-2p-12=0  ==> p=-6

Usando (ii) -18-q+7=0  ==>q=-11

Answer 2

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos o seguinte polinômio:

$\large\red{ \boxed{P(x) = x {}^{3} + px {}^{2} - qx - 6}}$

A questão fala que ele é divisível por x² - 3x + 2, para facilitar nossa vida, podemos colocar esse polinômio em sua forma fatorada:

$\sf{x {}^{2} - 3x + 2} \\ (x - 1).(x - 2)$

Com isso fica bem mais fácil a visualização do que podemos fazer.

Para um polinômio ser divisível por outro, ele deve ter o resto igual a "0", já para um número ser raiz, ao substituirmos tal número na expressão, ele deve fazer com que a equação possua o valor igual a "0", sabendo disso vamos pegar cada um desses polinômios, igualar a "0" e substituir no local de "x" o valor obtido.

(Lembre-se também de que P(x) nesse caso vai ser igual a "0", já que os números serão raízes).

I) Valor de P e Q para x - 1:

$x - 1 = 0 \\ x = 1 \\P(1) = 0\\ \\ P(x) = x {}^{3} + px {}^{2} - qx - 6 \\P(1) = (1) {}^{ 3 } + p.(1) {}^{2} - q.1 - 6 \\P(1) = 1 + p.1 - q - 6 \\P(1) = p - q - 5 \\0 = p - q - 5 \\ \boxed{p - q = 5}$

II) Valor de P e Q para x - 2:

$x - 2 =0 \\ x = 2 \\ P(2) = 0 \\ \\ P(x) = x {}^{3} + px {}^{2} - qx - 6 \\ P(2) = (2) {}^{3} + p.(2) {}^{2} - q.2 - 6 \\ P(2) = 8 + 4p - 2q - 6 \\ P(2) = 4p - 2q + 2 \\ 0 = 4p - 2q + 2 \\ (4p - 2q = - 2)( \div 2) \\ \boxed{ 2p - q = - 1}$

Note que surgiu duas equações de duas incógnitas, o que nos remete a um sistema de equações. Vamos resolver através do método da adição:

$\begin{cases} p - q = 5 \\ 2p - q = - 1\end{cases} \\ \\( 2p - q = - 1).( - 1) \\ - 2p + q = 1\\ \\ \begin{cases} p - q = 5 \\ - 2p + q = 1\end{cases} \\ \\ p - \cancel{q }- 2p + \cancel{q} = 5 + 1 \\ - p = 6.( - 1) \\ \Large\boxed{ p = - 6}$

Substituindo o valor de "p" em uma das duas equações para achar o valor de "q":

$p - q = 5 \\ - 6 - q = 5 \\ - q = 5 + 6\\ - q = 11.( - 1) \\ \Large \boxed{q = - 11}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️