Question

O polinomio p(x) = x³ + bx² + cx + d, é divisível por x - 1 e por x + 1.Quando o dividimos por x - 2, obtemos resto igual a 12.
Nessas condições, b, c e d valem,respectivamente...

a) -2, 1 e 2
b)2, -1 e -2
c)1, 2 e -2
d)2,1 e 1
e) 2,2 e 1

Answer 1

Pelo Teorema do Resto Polinomial temos que dividindo p(x) por (x - a), então o resto da divisão é igual a p(a).

Como p(x) = x³ + bx² + cx + d é divisível por (x - 1), então sabemos que o resto é igual a 0; logo p(1) = 0. Assim:

(1)³ + b(1)² + c(1) + d = 0
1 + b + c + d = 0
b + c + d = -1 (I)

Como p(x) = x³ + bx² + cx + d é divisível por (x + 1), então sabemos que o resto é igual a 0; logo p(-1) = 0. Assim:

(-1)³ + b(-1)² + c(-1) + d = 0
-1 + b - c + d = 0
b - c + d = 1 (II)

Como p(x) = x³ + bx² + cx + d dividido por (x - 2) tem resto igual a 12, então p(2) = 12. Assim:

(2)³ + b(2)² + c(2) + d = 12
8 + 4b + 2c + d = 12
4b + 2c + d = 4 (III)

Portanto, temos que resolver o sistema formado pelas equações I, II e III:
b + c + d = -1 (I)
b - c + d = 1 (II)
4b + 2c + d = 4 (III)

Obs.: Você pode resolver o sistema da forma que achar melhor, não precisa ser igual a minha resolução.


Aplicando o método da adição em I e II, teremos:
b + c + d = -1 (I)
b - c + d = 1 (II)

2b + 2d = 0
2(b + d) = 0
b + d = 0/2
b + d = 0

Substituindo b + d em I, temos:
b + c + d = -1 (I)
b + d + c = -1
0 + c = -1
c = -1

Agora substituindo o valor de c em III, temos:
4b + 2c + d = 4 (III)
4b + 2(-1) + d = 4
4b - 2 + d = 4
4b + d = 6
d = 6 - 4b

Como já achamos b + d = 0, vamos substituir o valor de d encontrado:
b + 6 - 4b = 0
- 3b = - 6
b = 6/3
b = 2

Agora substituímos o valor de b em b + d = 0
2 + d = 0
d = - 2

Portanto, b = 2, c = -1 e d = -2. A resposta é letra b.

O polinômio é p(x) = x³ + 2x² - x - 2