Question

O polinômio p(x)=x3+ax2+bxp(x)=x3+ax2+bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x – 2 e x – 1, respectivamente.
Assim, o valor de a é

Answer 1

Boa tarde Gabriel!!

p(x) = x³ + ax² + bx

Podemos fazer as divisões usando o teorema do resto, que diz que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio de modelo x - y (y sendo um número) será R = P(y).

Assim:
a) Divisão por x - 2 resultando em R = 2
De acordo com o teorema:

2 = P(2)
Subtituindo os valores:
2 = 2³ + a2² + b.2
2 = 8 + 4a + 2b
4a + 2b = 2 - 8
4a + 2b = - 6

b)Divisão por x - 1 tendo como resto R = 4
Pelo teorema:

4 = P(1)
Substituindo os valores:
4 = 1³ + a.1² + b.1
4 = 1 + 1.a + b
a + b = 4 - 1
a + b = 3

Com as duas equações obtidas formamos um sistema:
4a + 2b = - 6
a + b = 3

Isolando o valor de b da segunda equação fica:
b = 3 - a

Substituindo o valor de b na 1ª equação temos:
4a + 2(3 - a) = - 6
4a + 6 - 2a = - 6
2a = - 6 - 6
2a = - 12
a = - 12/2
a = - 6

Espero ter ajudado ;)