Question

O valor de z8, para z = 2 - 2i, é quanto? (Lembre-se que i2 = -1)

preciso muito da resposta ​

Answer 1

caso tenha problemas para visualizar resposta experimente abrir pelo navegador

https://brainly.com.br/tarefa/34608935

$\sf z=2-2i\\\sf \rho=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{2\cdot4}=2\sqrt{2}\\\sf cos(\theta)=\dfrac{\diagup\!\!\!2}{\diagup\!\!\! 2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sf sen(\theta)=\dfrac{-\diagup\!\!\!2}{\diagup\!\!\!2\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sf \theta=\dfrac{3\pi} {4}\\\sf z^8=\rho^8\cdot[cos(8\theta)+i~sen(8\theta)]\\\sf z^8=(2\sqrt{2})^8\cdot[cos\left(\diagup\!\!\!8\cdot\dfrac{3\pi}{\diagup\!\!\!4}\right)+i~sen\left(\diagup\!\!\!8\cdot\dfrac{3\pi}{\diagup\!\!\!4}\right)]$

$\sf z^8=4096\cdot[cos(6\pi)+i~sen(6\pi)]\\\sf z^8=4096\cdot[1+i\cdot0]\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf z^8=4096\checkmark}}}}$

Answer 2

Identificando o argumento e o módulo do número complexo, calculamos que, $z^8 = 4096$.

Números complexos

Podemos calcular potências de números complexos de forma mais simplificada se utilizarmos a forma polar do número complexo. Para isso, precisamos identificar o módulo e o argumento de z = 2 - 2i.

Para identificar o módulo podemos utilizar a fórmula do módulo de um número complexo. Para isso observe que, a parte real é 2 e a parte imaginária é -2, logo:

$|z| = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$

O número complexo z dado na questão possui representação gráfica no quarto quadrante sobre a reta y = -x. Portanto, o seu argumento é $- \pi/2$

Para calcular a potência oitava de z, basta multiplicar o argumento por 8 e elevar o módulo à potência 8. Temos que, $8*(- \pi /2) = -4 \pi$, ou seja, o resultado será o número real dado por:

$z^8 = (2 \sqrt{2})^8 = 4096$

Para mais informações sobre números complexos, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/47813228

#SPJ5