Question

O polinômio p(x)=x^4+2kx3+6x2+6x+4k é divisível por x-1.Então k vale ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vinicius, que a resolução é simples.

Tem-se que o polinômio p(x) = x⁴ + 2kx³ + 6x² + 6x + 4k é divisível por d(x) = x-1.
Sabendo-se disso, pede-se para determinar o valor de "k".

Agora veja: se p(x) é divisível por "x-1", então observe que:

x - 1 = 0
x = 1 <---- Logo, "1" será raiz de p(x). Assim, se substituirmos "x" por "1" na expressão p(x) vamos igualar p(x) a zero, pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. Assim, se temos:

p(x) = x⁴ + 2kx³ + 6x² + 6x + 4k , vamos substituir "x' por "1", com o que ficaremos:

p(1) = 1⁴ + 2k*1³ + 6*1² + 6*1 + 4k ----- mas como a raiz faz a equação zerar, então vamos substituir p(1) por "0", com o que ficaremos:

0 = 1 + 2k + 6 + 6 + 4k ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = 13 + 6k --- vamos apenas inverter, ficando:
6k + 13 = 0
6k = - 13
k = - 13/6 <--- Pronto. Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "k" para que p(x) seja divisível por d(x).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.