Question

O polinômio P(x)=(2x+b)^2+(x+a)^2 tem raízes reais e iguais. Os valores de a e b são tais que?

Calculo por favor!!!

R:b=2a

Answer 1

$p(x)=(2x+b)^{2}+(x+a)^{2}\\p(x)=[(2x)^{2}+2.2x.b+b^{2}]+[x^{2}+2.x.a+a^{2}]\\p(x)=4x^{2}+4bx+b^{2}+x^{2}+2ax+a^{2}\\p(x)=5x^{2}+4bx+2ax+a^{2}+b^{2}\\p(x)=5x^{2}+x(4b+2a)+(a^{2}+b^{2})$

Esse polinômio terá raízes reais e iguais se o delta valer zero

$\Delta=b^{2}-4ac\\\\b^{2}-4ac=0\\(4b+2a)^{2}-4*5*(a^{2}+b^{2})=0\\(4b)^{2}+2.4b.2a+(2a)^{2}-20(a^{2}+b^{2})=0\\16b^{2}+16ab+4a^{2}-20a^{2}-20b^{2}=0\\-4b^{2}+16ab-16a^{2}=0$

Colocando -4 em evidência:

$-4*(b^{2}-4ab+4a^{2})=0\\b^{2}-4ab+4a^{2}=0$

Resolvendo a equação em função de 'a':

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(4a)^{2}-4*1*4a^{2}\\\Delta=16a^{2}-16a^{2}\\\Delta=0$

$b=(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a\\b=(-[-4a]\pm\sqrt{0})/(2*1)\\b=(4a\pm0)/2\\b=4a/2\\\\\boxed{\boxed{b=2a}}$