Question

O polinômio f(x)= 2x³+mx+n é divisível por x+1; dividindo f(x) por x +1/2, obtemos resto igual a 2. Determine o valor de m+n.
Alguém me ajuda por favor!!

Answer 1

 Olá!

 De acordo com o enunciado, f(x) é divisível por (x + 1), então se fizermos f(- 1) devemos encontrar 0. isto é, f(- 1) = 0. 

- Como surgiu o (- 1) Daniel?  
- Ora, fazendo o divisor daquela divisão igual a zero (x + 1 = 0 => x = - 1).

 Segue,

$\\ f(x) = 2x^3 + mx + n \\ f(- 1) = 2 \cdot (- 1) + m \cdot (- 1) + n \\ 0 = - 2 - m + n \\ - m + n = 2$

  Apliquemos um raciocínio análogo na divisão de f(x) por (x + 1/2); então se fizermos f(- 1/2) devemos encontrar 2. Isto é, f(- 1/2) = 2.
 
  Segue que,

$\\ f(x) = 2x^3 + mx + n \\\\ f\left ( - \frac{1}{2} \right ) = 2 \cdot \left ( - \frac{1}{8} \right ) + m \cdot \left ( - \frac{1}{2} \right ) + n \\\\ 2 = - \frac{1}{4} - \frac{m}{2} + n \\\\ 8 = - 1 - 2m + 4n \\ 2m - 4n = - 9 \;\; \div(2 \\ m - 2n = - \frac{9}{2}$

 Por fim, resolva o sistema abaixo e calcule a soma (m + n).

$\begin{cases} - m + n = 2 \\ m - 2n = - \frac{9}{2}\end{cases}$