Question

o polígono convexo de N lados tem 54 diagonais então N é : a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Answer 1

A fórmula do Número de diagonais (d) é:

$d= \frac{ n^{2} - 3n }{2}$      onde n é o nº de lados

Então:
$\frac{d}{1} = \frac{n^{2} - 3 n }{2}$

faça a multiplicação cruzada
$2d= n^{2} - 3n$  

Onde d é o número de diagonais, logo d=54; substituindo, fica 2.54= 108

$n^{2} - 3n - 54 = 0 \\ \\ x= \frac{- \\ \\ b ± \sqrt[]{b^{2} - 4ac} }{2.a} \\ \\ x = \frac{- (-3) ± \sqrt[]{(-3)^{2} - 4.1 . (-108)} }{2.1} \\ \\ x= \frac{- (-3) ± \sqrt[]{ 9 - (-432)} }{2} \\ \\ x= \frac{3 ± \sqrt[]{ 9 + 432} }{2} \\ \\ x= \frac{3 ± \sqrt[]{441} }{2} \\ \\ x= \ \frac{3± 21}{2} \\ \\ x_{1} = \frac{3+21}{2} \\ \\ x_{1}= \frac{24}{2} \\ \\ x_{1}= 12 \\ \\ \\ x_{2} = \frac{3-21}{2} \\ \\ x _{2}= \frac{-18}{2} \\ \\ x_{2}= -9$

uma vez que x não pode ser negativo, adotamos como resposta $x_{1}= 12$

OBS.: ESQUECE ESSE Â, ele não era pra estar ai.
Qualquer dúvida é só avisar! Beijos, bom estudo