O plano de Argand-Gauss é uma representação geométrica do conjunto dos números complexos. A cada número complexo z = a + bi, um ponto P pode ser associado no plano cartesiano. Da mesma maneira que cada ponto da reta está associado a um número real, o plano complexo associa o ponto (x, y) do plano ao número complexo x + yi. Esta associação conduz a duas formas de representação de um número complexo: a forma retangular ou cartesiana e a forma trigonométrica ou polar. Com relação à representação geométrica do número complexo a seguir, determine como deve ser sua representação na forma trigonométrica (ou polar).
Dica 1: utilize as relações trigonométricas para determinar o valor do módulo. (Observe o valor do ângulo corretamente)
Dica 2: não se esqueça de escrever os ângulos em radianos na forma trigonométrica
Soluções para a tarefa
Vamos là.
a forma retangular.
z = a + bi
a forma geométrica.
z = lzl * (cos(α) + sen(α)i)
lzl é o modulo que vale √(a² + b²)
exemplo.
z = -√3 + i
lzl = √(a² + b²) = √(3 + 1) = 2
cos(α) = a/lzl = -√3/2 --> α = 5π/6
sen(α) = b/lzl = 1/2 --> α = 5π/6
z = 2*(cos(5π/6) + sen(5π/6)i)
A representação trigonométrica do número complexo é z = 8·(cos 4π/3 + i·sen 4π/3).
Números complexos
- números complexos abrangem números que podem ser escritos na forma algébrica z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária;
- na forma trigonométrica, os números complexos são dados por z = |z|·(cos ∅ + i·sen ∅).
Note que o número dado tem abcissa -4 e forma um ângulo de 60° com o eixo real negativo. Pela função tangente, podemos encontrar sua ordenada:
tg 60° = b/-4
b = -4·√3
O módulo de z será:
|z| = √a² + b²
|z| = √(-4)² + (-4√3)²
|z| = √64 = 8
Como o ponto P está no terceiro quadrante, o ângulo deve ser somado a 180°, logo, ∅ = 180° + 60° = 240° (4π/3 rad).
O número complexo é:
z = 8·(cos 4π/3 + i·sen 4π/3)
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