Question

O peso declarado na embalagem de uma marca de iogurte grego é de 100g. Contudo, seu peso real varia, minimamente, de um potinho para outro. Considere que o peso do potinho siga uma Normal com média 103g e desvio padrão 3g. Você compra um desses potinhos, ao acaso, e se pergunta: a) Quanto espero que seja o peso real desta unidade? b) Qual a probabilidade de, esta unidade, ter menos de 100g? c) Qual a probabilidade de, esta unidade, ter mais de 105g? d) Qual a probabilidade de, esta unidade, ter entre 102g e 105g? e) Qual é o intervalo de peso que contém 85% dos potinhos de iogurte produzidos?

Answer 1

Seja X a variável aleatória correspondente ao peso dos potinhos. Foi dado que X segue uma distribuição normal com μ = 103 g e σ²= 9 g².

a) 103 g, pois E(X) = μ .

b) Calculamos:

$P( X < 100) = P(Z < \frac{100-103}{3}) = P( Z < -1) = 1-\Phi(1) = 1-0,8413 = \\ \\ = 0,1587 = 15,87\%$

c) Veja que:

$P( X > 105) = P(Z > \frac{105-103}{3}) = P(Z > 0,66) = 1-\Phi(0,66) = 1-0,7454 = \\ \\ = 0,2546 = 25,46\%$

d) Temos que:

$P( 102 < X < 105) = P( \frac{102-103}{3} < Z < \frac{105-103}{3}) = P(-0,33 < Z < 0,66) = \\ \\ = \Phi(0,66) - \Phi(-0,33) = \Phi(0,66)+\Phi(0,33) - 1 = 0,7454+0,6293-1 = \\ \\ = 0,3747 = 37,47\%$

e) Queremos encontrar a constante c tal que P(μ-c < X < μ+c) = 0,85.

$P(103-c < X < 103+c) \Rightarrow P(\frac{103-c-103}{3} < Z < \frac{103+c-103}{3}) = 0,85 \\ \\ P(-\frac{c}{3} < Z < \frac{c}{3}) = 0,85 \Rightarrow \Phi(\frac{c}{3}) - \Phi(-\frac{c}{3}) = 0,85 \Rightarrow \Phi(\frac{c}{3}) = 0,925 \\ \\ \frac{c}{3} = \Phi^{-1}(0,925) = 1,44 \Leftrightarrow c = 3 \cdot 1,44 = 4,32$

Daí, o intervalo é (98,68 ; 107,32)