O perímetro de um triângulo retângulo é de 24 cm, e as medidas de seus lados estão expressas por: X - 2, X e X + 2. Determine a medida das projeções ortogonais dos catetos desse triângulo sobre a hipotenusa:
A- 6,4 e 3,6
B- 5,6 e 4,4
C- 6,6 e 3,4
D- 5,4 e 4,6
E- 6 e 4
Por favor, quem puder me ajudar eu agradeço demais.
Vou seguir, comentar... Por favor!!!
Soluções para a tarefa
Resposta:
A)
Explicação passo-a-passo:
vamos chamar as projeções ortogonais de m e n.
temos que:
m + n = hipotenusa
e como o perímetro é 24 cm temos:
x + 2 + x + x - 2 = 24
3x = 24
x = 8
e x - 2 = 6 e x + 2 = 10
como a hipotenusa é o maior lado temos que:
hipotenusa = 10 cm
ou seja:
m + n = 10
agora, usando relações métricas temos que:
cateto 1 × cateto 2 = hipotenusa × altura
6 × 8 = 10 × altura
48 = 10 × altura
altura = 4,8 cm
ultilizando de novo as relações temos:
altura² = projeção 1 × projeção 2
(4,8)² = m × n
23,04 = mn
assim temos o sistema:
m + n = 10
mn = 23,04
da segunda equação temos:
m = 23,04/n
agora substituindo m por 23,04/n na primeira equação temos:
23,04/n + n = 10
23,04 + n² = 10n
n² - 10n + 23,04 = 0
multiplicando essa equação por 100 temos:
100n² - 1000n + 2304 = 0
agora vamos resolver essa equação por bháskara e encontramos as raízes:
6,4 e 3,6
logo o valor de n pode ser 6,4 ou 3,6, para qualquer um dos casos o par de projeções (m,n) vai assumir os valores 6,4 e 3,6.
espero ter ajudado ;)