Question

O par ordenado (x, y) é a solução da equação x^3 + x^2y - 8x -8y= 7. O valor de x-y é:
a) 1
b) 2
c) -1
d) 0
e) -2

Answer 1

Vou resolver considerando que tanto $x$ quanto $y$ tenham que ser naturais, sequer racionais :P

i) Vamos, inicialmente, fatorar o primeiro membro da igualdade

$x^3+x^2y-8x-8y=7\\ x^2(x+y)-8(x+y)=7\\ \boxed{(x+y)(x^2-8)=7}$

ii) Agora vem o pulo do gato: no primeiro membro temos um produto de dois fatores. No segundo, portanto, também temos que fazer aparecer um produto de dois termos, porém 7 é primo e a única possibilidade de fazer isso é 7*1. Portanto:

$(x+y)(x^2-8)=7*1$

Daí temos dois casos a analisar

$\begin{cases}x+y=1\\ x^2-8=7\end{cases} \ \mathrm{ou} \ \ \begin{cases}x+y=7\\ x^2-8=1\end{cases}$

iii) É fácil ver que no primeiro caso encontraremos $x$ irracional $(x^2-8=7\Rightarrow x^2=15\Rightarrow x=\pm\sqrt{15})$, portanto vamos analisar apenas o segundo caso. Encontramos:

$\begin{cases}x+y=7\Rightarrow y=7-x\\ x^2-8=1\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3\end{cases}$

Como $x$ tem que ser natural temos que $x=3$, portanto $y=4$

Pra terminar temos apenas que calcular $x-y$

$x-y=3-4\\ \\ \boxed{\boxed{x-y=-1}}$

R: c) -1