Question

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f. A função bijetora dada por f(x) = (x+1)/(x-2) possui domínio no conjunto dos números reais.

Determine a função inversa f – 1(x).

Answer 1

Olá!
 
    O domínio D da função y =  f(x) dada é 

$D=\{x\in\mathbb{R}:x\neq 2\}.$
 
   Substitua x por y e y por x na função dada e isole y, para termos a inversa:

$x=\dfrac{(y+1)}{(y-2)}\Rightarrow x(y-2)=y+1\Rightarrow xy-2x=y+1\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow xy-y=2x+1\Rightarrow y(x-1)=2x+1\Rightarrow y=\dfrac{2x+1}{x-1},\;x\neq 1$

E como não podíamos tomar x = 2, por conta do domínio D, agora também não podemos tomar x = 1, por conta da inversa encontrada. Logo, o domínio da inversa é   $\{x\in\mathbb{R}:x\neq 2\;\;\text{e}\;\;x\neq 1\}.$

E a inversa é

$f^{-1}(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}.$




Bons estudos!