Question

O número N = 1800 x 49^2k tem 72 divisores naturais.
Logo, o valor de k é:

A. 2
B. 1/2
C. 1/4
D. 3
E. 1/3

Answer 1

O valor de k é 1/4.

O número N pode ser reescrito como fatores de números primos, observe:

$N = 1800 . 49^{2k} \Rightarrow \\\\N = 18.100.(7^2)^{2k} \Rightarrow \\\\N = (2.3^2).(2^2.5^2).7^{4k} \Righarrow \\\\\boxed{N = 2^3.3^2.5^2.7^{4k}}$

Dessa maneira, após estado escrito o número como fatores de primos, o produto de cada expoente somado a 1 resulta na quantidade divisores naturais de N.

(3+1).(2+1).(2+1).(4k+1) = 72

4.3.3.(4k+1)=72

36.(4k+1)=72

(4k+1)=2

4k = 1

k = 1/4

Resposta: C)