Question

O número de soluções inteira da inequação | x² - 5 x | ≤6 é ...

Answer 1

Resposta:

8

Explicação passo-a-passo:

Em uma inequação do tipo $|u|\leq a$, se $a$ é positivo, então podemos dizer que $-a\leq u\leq a$. Temos então que:

$-6\leq x^2-5x\leq 6$

Vamos inicialmente calcular $x^2-5x\geq -6$:

$x^2-5x+6\geq0$

Devemos fazer o estudo do sinal para determinar o resultado. Inicialmente calculamos as raízes do polinômio:

$x=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot6}}{2}$

$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}$

$x=\frac{5\pm1}{2}$

Daí tiramos que as raízes são 2 e 3. Como o polinômio $x^2-5x+6$ representa uma parábola de concavidade voltada para cima, ela é negativa no intervalo entre as funções. Como queremos o contrário, ficamos com os intervalos $x\leq 2$ e $x\geq 3$.

Vamos agora para $x^2-5x\leq6$:

$x^2-5x-6\leq0$

Devemos novamente realizar o estudo do sinal. Calculando as raízes do polinômio:

$x=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot(-6)}}{2}$

$x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2}$

$x=\frac{5\pm7}{2}$

Tirando daí que as raízes são -1 e 6. Como o polinômio representa graficamente uma parábola de concavidade voltada para cima, ela é negativa no intervalo entre as funções. Como é isso que desejamos, concluímos que o resultado é $-1\leq x\leq6$.

Basta agora calcularmos a interseção entre os intervalos $x\leq 2$, $x\geq 3$ e $-1\leq x\leq6$. A interseção resultante é $-1\leq x\leq2$ unido a $3\leq x\leq6$. Os números inteiros nesse intervalo são -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, somando-se 8 soluções inteiras.