Question

O NÚMERO DE RAÍZES REAIS DA EQUAÇÃO É ?
( EQUAÇÃO EXPONENCIAL )

4^{x} - 5 . 2^{x} + 4 = 0

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{Resolvendo a equa\c{c}\~ao exponencial:}\\\\ \mathsf{4^x+5\cdot 2^x+4=0}\\\\ \mathsf{(2^2)^x+5\cdot 2^x+4=0}\\\\ \mathsf{2^{2x}+5\cdot 2^x+4=0}\\\\ \mathsf{(2^x)^2+5\cdot 2^x+4=0} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Fazendo a seguinte mudan\c{c}a de vari\'avel}\\\\ \mathsf{2^x=t\quad(t>0)}\\\\\\ \textsf{a equa\c{c}\~ao fica}\\\\ \mathsf{t^2-5t+4=0} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Esta \'e uma equa\c{c}\~ao do segundo grau em t. Poder\'iamos}\\\textsf{resolv\^e-la usando B\'ascara, mas vou usar aqui fatora\c{c}\~ao}\\\textsf{por agrupamento.}\\\\\\ \textsf{Reescreva convenientemente }\mathsf{-5t}\textsf{ como }\mathsf{-t-4t:}\\\\ \mathsf{t^2-t-4t+4=0}\\\\ \mathsf{t(t-1)-4(t-1)=0}\\\\ \mathsf{(t-1)(t-4)=0} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} \mathsf{t-1=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t-4=0}\\\\ \mathsf{t=1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{t=4} \end{array} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Voltando \'a vari\'avel x, devemos ter}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{2^x=1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2^x=4}\\\\ \mathsf{2^x=2^0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2^x=2^2}\\\\ \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=2} \end{array} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Conjunto solu\c{c}\~ao: }\mathsf{S=\{0,\,2\}}\\\\ \textsf{(duas ra\'izes reais)} \end{array}$


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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


Tags: raiz solução equação exponencial mudança variável substituição fatoração agrupamento equação quadrática segundo grau