Question

O número de raízes reais da equação
2 cos2
x + 3 cos x + 1 = 0 no intervalo
]0, 2π[ é

Answer 1

O número de raízes reais da equação

2cos^2(x) + 3cos(x)  + 1 = 0

mudança de variável

y = cos(x)

2y^2 + 3y + 1 = 0

os coeficientes

a = 2, b = 3, c = 1

delta

d = 9 - 8 = 1

as raízes

y1 = (-3 + 1)/4 = -1/2

y2 = (-3 - 1)/4= -1

as raízes em x

cos(x) = -1/2 , x1 = 2pi/3, x2 = -2pi/3 + 2pi = 4pi/3

cos(x) = -1 , x3 = pi, x4 = -pi = -pi + 2pi = pi

O número de raízes é 3

120°, 180° e 240° ou 2pi/3, pi e 4pi/3

Answer 2

A equação dada possui três raízes reais: 120°, 180° e 240°.

Para chegar a essa resposta deve-se saber como o cosseno é entendido no círculo trigonométrico.

Círculo Trigonométrico

• O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 representado no plano cartesiano. Nele o eixo horizontal é o eixo dos cossenos e o eixo vertical é o eixo dos senos (vide imagem 1).
• O cosseno e o seno variarão entre -1 e 1 e o sinal de seu valor dependerá de seu quadrante. O cosseno, por exemplo, é positivo nos quadrantes 1 e 4 (vide imagem 2).
• Com relação ao círculo trigonométrico é importante decorar os valores de seno e cosseno para os ângulos de primeiro quadrante 0, 30°, 60° e 90° e seus espelhamentos nos outros quadrantes. O ângulo 30°, por exemplo, possui os seguintes espelhamentos no quadrantes 2, 3 e 4, respectivamente: 150°, 210° e 330°. Lembrando que os espelhamentos terão o mesmo valor de seno e cosseno, mudando apenas o sinal a depender do quadrante.

Com base nessas informações e na equação abaixo, podemos resolver o problema.

$2cos(x)^{2} + 3cos(x) + 1 = 0$

Fazendo cos(x) = y, temos:

2y² + 3y + 1 = 0

Resolvendo a equação de 2º grau, temos:

y = - 1

y = - 1/2

Como y = cos(x), temos que, para o intervalo ]0, 2π[:

cos(x) = - 1, logo x = π = 180°

cos(x) = - 1/2, logo x = 2π/3 = 120° e x = 4π/3 = 240°

Logo, a equação dada possui três raízes reais: 120°, 180° e 240°.

Aprenda mais sobre o círculo trigonométrico aqui:

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