Question

O numero de divisores inteiros positivos de n=2^14-2^12+6.2^10 é igual a:
a)13
b)22
c)36
d)45

Answer 1

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$\mathsf{n=2^{14}-2^{12}+6\cdot 2^{10}}\\\\ \mathsf{n=2^{10+4}-2^{10+2}+6\cdot 2^{10}}\\\\ \mathsf{n=2^{10}\cdot 2^4-2^{10}\cdot 2^2+6\cdot 2^{10}}\\\\ \mathsf{n=2^{10}\cdot (2^4-2^2+6)}$

$\mathsf{n=2^{10}\cdot (16-4+6)}\\\\\\ \begin{array}{rr|r}\!\!\!\mathsf{n=2^{10}\cdot 18}\qquad\quad\textsf{Fatorando 18:}&\mathsf{18}&\mathsf{2}\\ &\mathsf{9}&\mathsf{3}\\ &\mathsf{3}&\mathsf{3}\\ &\mathsf{1}& \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mathsf{18=2\cdot 3^2}\\\\\\ \mathsf{n=2^{10}\cdot (2\cdot 3^2)}$

$\mathsf{n=2^{10+1}\cdot 3^2}\\\\ \mathsf{n=2^{11}\cdot 3^2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(n decomposto em fatores primos)}$


Os expoentes de cada fator primo são 11 e 2.


A quantidade de divisores inteiros positivos de $\mathsf{n}$ é dada por pelo produto dos sucessores desses expoentes:

$\mathsf{(11+1)\cdot (2+1)}\\\\ =\mathsf{12\cdot 3}\\\\ =\mathsf{36}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a reposta.}$


Resposta:  alternativa c) 36.


Bons estudos! :-)