Question

O número de diagonais de um polígono é igual a de seu número n de lados. Qual é o valor de n?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o número de lados  (n) de um polígono regular, sabendo-se que o número de diagonais desse polígono é igual ao seu número de lados.

Antes de iniciar, veja que o número de diagonais (d) de um polígono regular é dado por:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.

Assim, como o número de diagonais (d) desse polígono é igual ao número de lados, então teremos que:

d = n ---- substituindo "d" por sua fórmula vista aí em cima, teremos:

n*(n-3)/2 = n ----- multiplicando em cruz, teremos:
n*(n-3) = 2*n ---- desenvolvendo os produtos indicados nos 2 membros, temos:

n² - 3n = 2n ------ passando "2n" para o 1º membro, teremos:
n² - 3n - 2n = 0
n² - 5n = 0 ----- colocando-se "n" em evidência, ficaremos:
n*(n - 5) = 0 ---- Veja que temos aqui o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Então temos as seguintes possibilidades;

ou
n = 0 ---> n' = 0

ou
n - 5 = 0 ---> n'' = 5.

Mas como um polígono não pode ter "0" diagonais nem "0" lados, então a raiz igual a "0" será descartada. Portanto, ficaremos apenas com a outra raiz, que é:

n = 5 <--- Esta é a resposta. Ou seja este polígono é um pentágono (polígono de 5 lados).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.