Question

o numero de bacterias de uma certa cultura dobra a cada hora.A partir da amostra inicial, são necessários 12 horas para que o número de bacterias atinja uma quantidade igual a 4096 bactérias.O numero de horas necessarias para que a quantidade de bacterias de uma cultura 16384 é:
A)14
B)16
C)24
D)26

Answer 1

Boa noite!

Como dobra a cada hora então:
$N(t)=k2^t$, e este número para t=12 vale 4096.
$k2^{12}=4096\\ k(4096)=4096\\ k=1$

Então, para chegar até 16384:
$16384=2^t\\ t=\log_2(16384)=14$

Espero ter ajudado!

Answer 2

Nota Importante:

Como não deu qualquer indicação sobre a forma da resolução pretendida (Exponencial ou Progressão Geométrica) vou resolver das 2 formas:

RESOLUÇÃO POR EXPONENCIAL:

Considerando (X) o número inicial de bactérias e (N) como número de bactérias num dado momento (t), expresso em horas, vamos definir a nossa exponencial como:

N(t) = X . 2^t

...como sabemos que X = 1 ...então

N(t) = 2^t

como queremos saber quando n(t) = 16384 ..então

16384 = 2^t

..aplicando as propriedades dos logaritmos teremos

Log 16384 = t . Log 2

9,704061 = t . 0,693147

9,704061/0,693147 = t

14 = t <--- tempo necessário 14 horas

RESOLUÇÃO POR PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Aviso prévio:

Note que, embora a cultura tenha sido iniciada por 1 só bactéria ...isso representa o momento ZERO da colónia ...logo o momento "1" da colónia (a1) será, neste caso igual a "2" (que corresponde ao 1º ciclo de vida da colónia - 1ª duplicação ..ok?) ...vamos ver como deduzir isso.

Temos a fórmula geral da PG:

an = a1 . q^(n-1) ....note que a razão q = 2

..como sabemos que no final de 12 horas a colónia era de 4096, então

4096 = a1 . 2^(12-1)

4096 = a1 . 2^11

4096 = a1 . 2048

4096/2048 = a1

2 = a1 <--- ´número de bactérias da colónia no momento"1" como referimos em cima

Mais uma informação adicional:

Como cada bactéria dá origem a 2 bactérias ...então o número total de bactérias em cada momento (n) ..será o total de bactérias da colónia ...isto implica que NÃO DEVE ser utilizada a formula da soma da PG ..mas sim a sua formula do termo geral para calcular o total de bactérias da colónia ...assim

an = a1 . q^(n-1)

como queremos an = 16384 ..então

16384 = 2 . 2^(n-1)

16384/2 = 2^(n-1)

8192 = 2^(n-1)

...para calcular o valor de "n" temos de ter ambos os termos na mesma base assim vamos decompor 8192 ...donde resulta 2^13 ..assim

2^13 = 2^(n-1)

...operando com os expoentes teremos

13 = n - 1

13 + 1 = n

14 = n <----- número de horas para a colónia atingir uma população de 16384 bactérias

Espero ter ajudado