Question

o número de algarismos do produto 5^15 . 4^6 é: a) 21 b)15 c) 18 d) 17 e) 23

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o número de algarismos do produto abaixo, que vamos chamar de um certo "x", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:


x = 5¹⁵ * 4⁶

Veja que a forma prática pra saber quantos algarismos tem um número muito grande, como é o caso do número "x" acima,  basta que se aplique logaritmo aos dois membros. O número de algarismos do número resultante será igual à característica do logaritmo MAIS uma unidade (a característica de um logaritmo é a parte que vem antes da vírgula).

Apenas pra você ter uma ideia, note que:

100 tem três algarismos. E o log (100) = 2 ou  "2,00000...." (característica "2" que, somada com "1" unidade, dá 3, que é a quantidade de algarismos do número 100).

1.000 tem quatro algarismos. E o log (1.000) = 3 ou "3,00000....." (característica "3" que, somada com "1" unidade, dá 4, que é a quantidade de algarismos do número 1.000).

E assim vai.

Bem visto isso, então vamos para o número da sua questão:

x = 5¹⁵ * 4⁶  ------ agora vamos aplicar logaritmo (base 10) a ambos os membros, ficando:

log₁₀ (x) = log₁₀ (5¹⁵ * 4⁶) ----- como o produto transforma-se em soma, teremos:

log₁₀ (x) = log₁₀ (5¹⁵) + log₁₀ (4⁶) ---- passando os expoentes multiplicando, teremos:

log₁₀ (x) = 15*log₁₀ (5) + 6*log₁₀ (4)

Veja que 5 = 10/2; e 4 = 2². Assim, substituindo, teremos:

log₁₀ (x) = 15*[log₁₀ (10/2)] + 6*log₁₀ (2²) ----- transformando a divisão em subtração e multiplicando o expoente "2" pelo respectivo log, teremos:

log₁₀ (x) = 15*[log₁₀ (10) - log₁₀ (2)] + 2*6*log₁₀ (2) ---- desenvolvendo, teremos:

log₁₀ (x) = 15*log₁₀ (10) - 15*log₁₀ (2) + 12log₁₀ (2) ----- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:

log₁₀ (x) = 15log₁₀ (10) - 3log₁₀ (2)

Agora veja que:

log₁₀ (10) = 1
log₁₀ (2) = 0,30103

Fazendo as devidas substituições, teremos:

log₁₀ (x) = 15*1 - 3*0,30103
log₁₀ (x) = 15 - 0,90309
log₁₀ (x) = 14,09691 (aproximadamente).

Assim, como você está vendo aí em cima, temos que a característica do log₁₀ (x) é igual a "14". Agora, basta somar "1" unidade a essa característica e encontramos a quantidade de algarismos do número "x". Logo, o número "x" terá:

14+1 = 15 algarismos <---- Esta é a resposta. Opção "b".


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.