Question

O número 2.083 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos? Justifique.



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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

 Olá Aks!

 Fiz assim:

(*) se os quadrados perfeitos forem pares, então o resultado da soma será PAR;
 
(**) se os quadrados perfeitos forem ímpares, então o resultado da soma será PAR;

(***) mas, se os quadrados perfeitos forem par e ímpar (ou, ímpar e par), então o resultado da soma será ÍMPAR.

 Ora, uma vez que 2083 é ímpar, podemos afirmar que (***) é o lema a ser considerado. Daí, segue que:

  Seja $\mathbf{m, n \in \mathbb{N}}$. Então, $\mathbf{2m}$ é par e $\mathbf{2n + 1}$ é ímpar. Consideremos que esses "números" elevados ao quadrado resulte em 2083. Daí,

$\\ \mathsf{(2m)^2 + (2n + 1)^2 = 2083} \\\\ \mathsf{4m^2 + (4n^2 + 4n + 1) = 2083} \\\\ \mathsf{4m^2 + 4n^2 + 4n = 2083 - 1} \\\\ \mathsf{4 \cdot (m^2 + n^2 + n) = 2082} \\\\ \mathsf{4 \cdot (m^2 + n^2 + n) = 2 \cdot 1041}$

 Note que, 4 não divide 2082; portanto, já podemos concluir que 2083 não pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos!