Question

Calculo 2 - Integral Definida

Encontre a área delimitada pelas curvas y=x³ e y=x

Answer 1

Olá


y = x³           
y = x

Encontrando os limites

x³ = x
x³ - x = 0
x(x² - 1) = 0

x = 0     ou       x = 1          ou          x = -1


Temos Duas áreas a serem calculadas;

A primeira vai de -1 à 0
A segunda vai de 0 a 1

Não podemos calcular somente uma área, como de -1 à 1, por que nesse caso, resultará em zero, já que há uma parte do gráfico que está no eixo negativo, que possui a mesma da área do eixo positivo.

Então

Atotal = A1 + A2

Temos que colocar o sinal negativo na integral que vai de -1 à 0, senão resultará uma área negativa. E isso não existe, por assim dizer.


Calculando a A1


$\displaystyle \mathsf{A_1= -\int\limits^0_{-1} {x-x^3} \, dx }\\\\\\\mathsf{A_1= -\left( \frac{x^2}{2}- \frac{x^4}{4} \right)\bigg|^0_{-1}}\\\\\\\mathsf{A_1=-\left[\left( \frac{0^2}{2}- \frac{0^4}{4} \right)~-~\left( \frac{(-1)^2}{2}~- \frac{(-1)^4}{4} \right)}\right]$

$\displaystyle \mathsf{A_1=-\left(- \frac{1}{4} \right)}\\\\\\\boxed{\mathsf{A_1= \frac{1}{4} }}$


Calculando A2.


$\displaystyle \mathsf{A_2= \int\limits^1_{0} {x-x^3} \, dx }\\\\\\\mathsf{A_2= \left( \frac{x^2}{2} -\frac{x^4}{4}\right)\bigg|^1_{0}}\\\\\\\mathsf{A_2=\left( \frac{1^2}{2}- \frac{1^4}{4} \right)~-~\left( \frac{0^2}{2}~- \frac{0^4}{4} \right)}\\\\\\\mathsf{A_2=\left( \frac{4-2}{8} \right)}\\\\\\\boxed{\mathsf{A_2= \frac{1}{4} }}$


Portanto a Área total fica sendo


$\displaystyle \mathsf{A_{TOTAL}=A_1+A_2}\\\\\\\mathsf{A_{TOTAL}= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} }\\\\\\\boxed{\mathsf{A_{TOTAL}= \frac{1}{2} }}$



NOTA: Você poderia calcular somente 1 área, mas teria que integrar em y.
Ou seja, em vez de ser: y alguma coisa que tem x    -> y=x²
seria: x alguma coisa que de y     ->   x = √y




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$\mathsf{AvengerCrawl\left(\smile \!\!\!\!\!\!\!^{'~'}\right)}$