Question

O movimento de uma partícula é tal, que no instante t sua posição é

P{t) = (1 + t, 1 - 2t, t).

a) Em que instante a partícula está mais próxima da esfera x² + y² + z² = 1?
b) Qual é o ponto desta esfera mais próxima da trajetória da partícula?

Obs: Tenta não usar conceitos de cálculo, apenas de geometria analítica, quero ver se tem um jeito.

Answer 1

A curva $P$ é uma reta $p$ que passa pelo ponto $P_{0}=(1,\;1,\;0)$ no instante $t=0:$

Usando as coordenadas de $P(t),$ podemos escrever uma equação vetorial para a reta $p$ é

$p:~(x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;0)+t\cdot (1,\;-2,\;1)\,,~~~~~~t\geq 0.$


Daí tiramos que $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\;-2,\;1)$ é um vetor diretor para a reta $p.$

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O centro da esfera é a origem $O=(0,\;0,\;0)$ do sistema de coordenadas cartesianas. Logo, o vetor $\overrightarrow{P_{0}O}$ é


$\overrightarrow{P_{0}O}=O-P_{0}\\ \\ \overrightarrow{P_{0}O}=(0,\;0,\;0)-(1,\;1,\;0)\\ \\ \overrightarrow{P_{0}O}=(-1,\;-1,\;0)$
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Estamos procurando um ponto $Q \in p,$ de forma que a distância de $Q$ até a superfície esférica de equação

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

seja mínima.


Assim. $Q$ deve ser tal que

o vetor $\overrightarrow{P_{0}Q}$ seja a projeção ortogonal de $\overrightarrow{P_{0}O}$ na direção da reta $p:$

$\overrightarrow{P_{0}Q}=\mathrm{proj}_{\overrightarrow{\mathbf{v}}~}\overrightarrow{P_{0}O}$


Reescrevendo a projeção ortogonal acima em termos de produto escalar, temos

$\overrightarrow{P_{0}Q}=\left(\|\overrightarrow{P_{0}O}\|\cdot \cos \theta \right )\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|}\\ \\ \\ \overrightarrow{P_{0}Q}=\left(\|\overrightarrow{P_{0}O}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \cos \theta \right )\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|^{2}}\\ \\ \\ \boxed{\overrightarrow{P_{0}Q}=\left(\overrightarrow{P_{0}O}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}} \right )\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathbf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|^{2}}}~~~~~~\mathbf{(i)}$
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Calculando o produto escalar $\overrightarrow{P_{0}O}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$\overrightarrow{P_{0}O}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,\;-1,\;0)\cdot (1,\;-2,\;1)\\ \\ =(-1)\cdot 1+(-1)\cdot (-2)+0\cdot 1\\ \\ =-1+2+0\\ \\ =1~~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Calculando o módulo de $\overrightarrow{\mathbf{v}}:$
(na verdade, só precisamos do módulo ao quadrado de $\overrightarrow{\mathbf{v}}:$)

$\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|^{2}=1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}\\ \\ =1+4+1\\ \\ =6~~~~~~\mathbf{(iii)}$
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Substituindo $\mathbf{(ii)}$ e $\mathbf{(iii)}$ em $\mathbf{(i)},$ temos que

$\overrightarrow{P_{0}Q}=1\cdot \dfrac{(1,\;-2,\;1)}{6}\\ \\ \\ \overrightarrow{P_{0}Q}=\dfrac{1}{6}\cdot(1,\;-2,\;1)~~~~~~\mathbf{(iv)}$
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Encontrando as coordenadas do ponto $Q:$

De $\mathbf{(iv)}\,,$ tiramos que

$Q-P_{0}=\dfrac{1}{6}\cdot(1,\;-2,\;1)\\ \\ \\ Q=P_{0}+\dfrac{1}{6}\cdot(1,\;-2,\;1)\\ \\ \\ Q=(1,\;1,\;0)+\dfrac{1}{6}\cdot (1,\;-2,\;1)$


a) Como $Q \in p\,,$ comparando a igualdade acima com a equação vetorial da reta $p$ dada inicialmente, tiramos que

$t=\dfrac{1}{6}$


As coordenadas de $Q:$

$Q=P\left(\dfrac{1}{6}\right)\\ \\ \\ Q=\left(1+\dfrac{1}{6},\;1-2\cdot \dfrac{1}{6},\;\dfrac{1}{6} \right )\\ \\ \\ Q=\left(\dfrac{7}{6},\;\dfrac{4}{6},\;\dfrac{1}{6} \right )$


b) Sendo $r=1$ a medida do raio da esfera, o ponto $S$ da esfera que está mais próximo da reta $p$ é o ponto da esfera que está mais próximo de $Q:$

$S=O+r\cdot \dfrac{\overrightarrow{OQ}}{\|\overrightarrow{OQ}\|}\\ \\ \\ S=(0,\;0,\;0)+1\cdot \dfrac{\frac{1}{6}\cdot (7,\;4,\;1)}{\frac{1}{6}\cdot \sqrt{7^{2}+4^{2}+1^{2}}}\\ \\ \\ S=\dfrac{(7,\;4,\;1)}{\sqrt{49+16+1}}\\ \\ \\ S=\dfrac{1}{\sqrt{66}}\cdot (7,\;4,\;1)$