Question

O movimento de uma bola, lançado para cima, é descrito pela equação y = – 40x² + 200x, onde y é a altura, em metros, atingida pela bola, x segundos (tempo) após o lançamento. Considere que a bola foi lançada por um disparador de bolas, cujo bico está posicionado rente ao chão, que é uma superfície plana.
a) Você viu nas vídeo aulas também, que o vértice determina o ponto máximo (se a parábola tem concavidade voltada para cima) ou o ponto mínimo (se a parábola tem concavidade voltada para baixo) da parábola. Então responda:
- Em quanto tempo essa bola atingirá a altura máxima?
- Qual a altura máxima atingida por essa bola?
b) Quanto tempo a bola permanece no ar?
c) Faça um esboço da representação gráfica dessa parábola, a partir dos três pontos conhecidos as duas raízes, e o vértice.

Answer 1

Resposta:

• a) x = 2,5 s; altura máxima = 250 m
• b) 5 s
• c) Figura

Explicação passo-a-passo:

• Essa tarefa é sobre máximos e mínimos de funções.

• Para determinar o valor máximo (ou mínimo) de uma função devemos usar o conceito de derivada.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

a)

$\sf{y(x)=-40x^2+200x}$

1. Vou calcular primeiro a derivada da função quadrática, assim:

$\sf{\dfrac{dy(x)}{dx}=-80x+200}$

2. Para obter o ponto de máximo basta igualar a derivada a zero:

$\sf{-80x+200=0}$

$\sf{80x=200}$

$\sf{x=\dfrac{200}{8}}$

$\therefore \boxed{\sf{x=2,5\,s}}$

Conclusão: A bola atingirá a altura máxima em 2,5 s.

3. Para calcular a altura máxima basta substituir x = 2,5 na função dada:

$\sf{y(x)=-40x^2+200x}$

$\sf{y(2,5)=-40\cdot(2,5)^2+200\cdot(2,5)}$

$\sf{y(2,5)=-250+500}$

$\therefore \boxed{\sf{y(2,5)=250\,m}}$

Conclusão: a altura máxima atingida é de 250 m.

b) No lançamento vertical, o tempo de subida é igual ao tempo de descida:

$\sf{t_{sub}=t_{des}=2,5\,s}$

Logo, o tempo total que a bola fica no ar é:

$\sf{t_{total}=t_{sub}+t_{des}}$

$\sf{t_{total}=2,5+2,5}$

$\therefore \boxed{\sf{t_{total}=5,0\,s}}$

c) Para fazer o esboço da parábola precisamos saber as duas raízes, o vértice e sua concavidade.

1. Como o termo que multiplica x² é negativo (-40), logo a parábola tem concavidade para baixo.

2. Raízes:

$\sf{y(x)=0}$

$\sf{-40x^2+200x=0}$

$\sf{x\cdot(200-40x)=0}$

$\boxed{\sf{x_1=0}}\quad \sf{ou}\quad \sf{200-40x=0}$

$\sf{40x=200}$

$\sf{x=\dfrac{200}{4}}$

$\therefore \boxed{\sf{x_2=5\,s}}$

3. Coordenadas do vértice $\sf{V=(x_V,y_V)}$

i)

$\sf{x_V=\dfrac{x_1+x_2}{2}}$

$\sf{x_V=\dfrac{0+5}{2}}$

$\therefore \boxed{\sf{x_V=2,5\,s}}$

ii)

$\boxed{\sf{y_V=altura\,ma\´xima=y(2,5)=250\,m}}$

4. Com os dados acima, podemos fazer o esboço do gráfico na figura abaixo.

Continue aprendendo com o link abaixo:

Máximos e mínimos

https://brainly.com.br/tarefa/4775959

Bons estudos!

Equipe Brainly

Answer 2

• Fórmulas que utilizaremos nesta solução:

$\text{V\'ertice em x}= V_x = \dfrac{-b}{2a}$

$\text{V\'ertice em y}= V_y = \dfrac{-\Delta}{4a}$

• A altura máxima equivale ao vértice em y (o maior valor dessa função):

$V_y = \dfrac{-(b^2 -4ac)}{4a}$

$V_y = \dfrac{-[(200)^2-4\cdot(-40)\cdot0]}{4\cdot(-40)}$

$V_y = \dfrac{-40000}{-160}$

$V_y = \boxed{250m}$

• O tempo onde essa função recebe seu valor máximo é o vértice em x:

$V_x = \dfrac{-b}{2a}$

$V_x = \dfrac{-200}{2\cdot(-40)}$

$V_x = \dfrac{5}{2}$

$V_ x = \boxed{2.5s}$

• O tempo que a bola fica no ar equivale a maior raiz dessa função(tempo que demorou para y retornar ao zero).

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

$x = \dfrac{-200 \pm \sqrt{40000}}{2\cdot(-40)}$

$x = \dfrac{-200 \pm 200}{-80}$

$x_1 = \dfrac{-200+200}{-80} = 0$

$x_2 = \dfrac{-200-200}{-80} = \dfrac{400}{80} = 5$

• Observe que a bola toca o eixo x novamente aos 5 segundos, sendo esse o tempo no ar.

• Para esboçar o gráfico, precisamos das coordenadas do vértice, dos pontos onde a função toca o eixo x e do ponto onde a função toca o eixo y(igual a 0).  Já temos todas essas informações, observe a imagem em anexo.