Question

O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por LaTeX: M(x)= 50000\cdot1,08^x, em que LaTeX: xx representa o ano após a aplicação e LaTeX: x = 0x=0 representa o momento em que foi realizada a aplicação.
Qual o valor aplicado inicialmente?
Calcule o montante após 1 ano, 5 anos e 10 anos da aplicação inicial.
Qual a porcentagem de aumento do montante em um ano?
Esboce o gráfico de M usando os valores do item (a) e (b).
Após quanto tempo o montante será de 80000? Responda em anos, com arredondamento de 2 casas decimais.
Agora converta a resposta do item (e) para anos e meses (faça isso usando o valor encontrado na calculadora quando você fez o item (e), ou seja, não use o valor arredondado da resposta anterior).

Answer 1

A fórmula do montante dado é $M(x) = 50000.1,08^x$, sendo x  o ano da aplicação e x = 0 o ano inicial.

a) Como o ano inicial é 0, então basta substituir x por 0:

$M(0) = 50000.1,08^0$
M(0) = 50000

Portanto, o valor aplicado inicialmente foi de R$ 50000,00

b) x = 1 ano

M(1) = 50000.1,08¹
M(1) = 54000

x = 5 anos

M(5) = 50000.1,08⁵
M(5) = 73466,40

x = 10 anos

M(10) = 50000.1,08¹⁰
M(10) = 107946,25

c) Para calcularmos a porcentagem de aumento do montante em um ano basta fazer uma Regra de 3 simples.

Como após 1 ano o montante foi de 54000, então:

50000 ------ 100%
54000 ------   p

p = 8%

d) Sendo A(0,50000), B(1,54000), C(5,73466.4) e D(10,107946.25), o gráfico é uma função exponencial que está representado abaixo.

e) Para isso, basta igualarmos a fórmula dada inicialmente a 80000:

$80000 = 50000.1,08^x$
$1,6=1,08^x$
$ln(1,6) = ln(1,08)^x$

Pela propriedade de logaritmo:

ln(1,6) = x.ln(1,08)
$x = \frac{ln(1,6)}{ln(1,08)}$
x ≈ 6,10 anos

f) Da questão anterior temos que 6,10 ≈ 73 meses.

Ou seja, x = 6 anos e 1 mês