Question

O módulo do número complexo z = i²⁰¹⁴ - i¹⁹⁸⁷ é igual a.

Answer 1

Com o estudo sobre as potências de i, temos que o módulo z é igual $\sqrt{2}$

Potências de i

1° Caso: n≥0

Dividindo n por 4, obtemos um quociente inteiro q e um resto inteiro r tal que 0≤r<4, isto é, n = 4q+r. Assim, aplicando as propriedades das potências, temos

$i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r=\left(i^4\right)^q\cdot i^r=1^q\cdot i^r=1\cdot i^r=i^r$

Como r é inteiro e 0≤r<4, concluímos que $i^r$ é um dos valores $i^0,i^1,i^2,i^3$

2° Caso: n < 0

$\left(i^n\right)=\left(i^{-1}\right)^{-n}$

Podemos observar que $i^{-1}=\dfrac{1}{i}$ com isso podemos multiplicar o numerador e o denominador por -i:

$i^{-1}=\dfrac{1}{i}=\dfrac{1\cdot \left(-i\right)}{i\cdot \left(-i\right)}=\dfrac{-i}{-i^2}=-i$

Assim, temos:

$i^n=\left(-i\right)^{-n}=\left(-1\right)^{-n}\cdot i^{-n}$

Como n < 0, temos que -n > 0 e, portanto, pelo 1° caso, $i^{-n}$ é um dos quatro valores. E como $i^{-n}$ é igual a 1 ou a -1, concluímos que $\left(-1\right)^{-n}\cdot i^{-n}$ é um dos quatro valores.

Sendo assim podemos resolver o exercício. Dividindo 2014 por 4, obtemos resto 2. Logo, $i^{2014}=i^2=-1$. Dividindo 1987 por 4, obtemos resto 3. Logo, $i^{1987}=i^3=-i$. Daí, $\:z\:=\:-1-\left(-i\right)$

Calculando o módulo teremos $\left|z\right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{2}$

Saiba mais sobre módulo de um número complexo:https://brainly.com.br/tarefa/6903191

#SPJ11