Question

o módulo do número complexo 2+i²⁰²¹/1+i²⁰²³

Answer 1

Resposta: alternativa a).

O problema pede o módulo do quociente entre dois números complexos. Inicialmente, calcule as potências de ''i'' da mesma forma que fizemos na questão anterior, onde encaixamos o valor de i² = – 1:

$\dfrac{2+i^{2021}}{1-i^{2023}}$

$\dfrac{2+i^{2020}\cdot i}{1-i^{2022}\cdot i}$

$\dfrac{2+(i^2)^{1010}\cdot i}{1-(i^2)^{1011}\cdot i}$

$\dfrac{2+(-\,1)^{1010}\cdot i}{1-(-\,1)^{1011}\cdot i}$

$\dfrac{2+(1)\cdot i}{1-(-\,1)\cdot i}$

$\dfrac{2+i}{1+i}$

Agora multiplique a fração pelo conjugado do denominador [se a + bi, seu conjugado será a – bi, (basta trocar o sinal da parte imaginaria)]:

$\dfrac{2+i}{1+i}\cdot\dfrac{1-i}{1-i}$

$\dfrac{(2+i)\cdot(1-i)}{(1+i)\cdot(1-i)}$

$\dfrac{2-2i+i-i^2}{1-i^2}$

$\dfrac{2-i-(-\,1)}{1-(-\,1)}$

$\dfrac{2-i+1}{1+1}$

$\dfrac{3-i}{2}$

Portanto, o seu módulo será:

$=~~\bigg|\dfrac{3-i}{2}\bigg|$

$=~~\dfrac{|3-i|}{2}$

Note que |a + bi| = √(a² + b²) [o módulo de um número complexo é igual a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus coeficientes (que são a parte real e imaginária)]:

$=~~\dfrac{\sqrt{3^2+(-\,1)^2}}{2}$

$=~~\dfrac{\sqrt{9+1}}{2}$

$=~~\dfrac{\sqrt{10}}{2}$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

      2 + i²⁰²¹

Z = -----------------

       1  - i²⁰²³

assim

iº  =  1

i¹ =   i

i² = - 1  

i³ =   - i    ===>(i³ =i².i¹ = (-1)(i) = - 1i = - i)

i⁴  =  1   =====> (i⁴ = i².i² = (-1)(-1) = + 1 = 1

dica:

QUALQUER  expoente de (i)  ACIMA  de (4))

DIVIDE tudo por (4))

    2021     I___4__

   -20           505

    ----

      02

       -0

     -----

        21

       -20

        -----

           1     ( RESTO    ent~so = i¹ = i)

i²⁰²¹  = i¹= i

=========================================

i²⁰²³

 2023     I____4___

-20             505

-----

    02

    - 0

      -----

        23

      - 20

        ----

          3     ( RESTO  entã= i³= - i)

i²⁰²³ = i³  = - i

RESOLVENDO

        2 + i²⁰²¹

Z = -----------------

       1  - i²⁰²³

        2 + i

Z = -----------

        1 - (-i)   o sinal

         2 +i               (a =2) e (b =1)

Z =------------

         1+i                 (a = 1) e (b = 1)

MÓDULO

           √a²+b²

I Z I = -------------------  

            √a² +b²

             √(2)²+ (1)²

I Z I =---------------------

               √(1)² + (1)²

               √4+ 1

I Z  I = ---------------

               √1 +1

               √5

I Z I =------------

                 √2    racionalizar ( eliminar a raiz do denominador)

               √5(√2)

I Z I = ------------------=

                √2(√2)

              √5x2

I Z I = ---------------

               √2x2

                 √10

I Z I =----------------

                  √2²  elimina a √(raz quadrada) com o (²))

           √10

IZ I =------------   resposta    (letra(a))

            2