Question

O método de Jacobi é um dos métodos numéricos utilizados para resolução de sistemas lineares.
Calcule uma aproximação, após três iterações, para a solução utilizando o método de Jacobi no sistema abaixo com x_0 = [0;0;0]^T.
10*x_1 + 2*x_2 + x_3 = 7
x_1 + 5*x_2 + x_3 = -8
2*x_1 + 3*x_2 + 10*x_3 = 6
Alternativas
Alternativa 1:
x = [0.9; -1.9; 0.9]T.

Alternativa 2:
x = [1.978; -1.98; 1.966]T.

Alternativa 3:
x = [0.999; -1.99; 0.999]T.

Alternativa 4:
x = [1.978; -2.98; 0.966]T.

Alternativa 5:
x = [0.978; -1.98; 0.966]T.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 3:

x = [0.999; -1.99; 0.999]T.

Explicação passo-a-passo:

10 2 1 b1= 7 X1= 0,7

1 5 1 b2= -8 X2= -1,6

2 3 10 b3= 6 X3= 0,6

     

1ª inteiração      

X¹1= 0,96      

X¹2= -1,86      

X¹3= 0,94   Q5  

     

2ª inteiração      

X¹1= 0,978      

X¹2= -1,98      

X¹3= 0,966      

     

3ª inteiração      

X¹1= 0,9994      

X¹2= -1,9888     -1,6

X¹3= 0,9984      

Answer 2

Com apenas 3 iterações, o método encontra a solução:

$x_{1} =0,978$

$x_{2} =-1,98$

$x_{3} =0,966$

(Alternativa 5)

$\dotfill$

Como dito, o método de Jacobi é um dos métodos numéricos utilizados para resolução de sistemas lineares. Por mais que envolva ainda a questão de convergência da solução (ou seja, o método não funciona para todas as matrizes), tal método pode ser utilizado para encontrar a solução de sistemas lineares numericamente com precisão significativa.

O primeiro passo para aplicação do método é isolar em cada equação uma das variáveis do sistema. De outra forma, dividimos seus elementos pelo elemento da diagonal principal da linha correspondente na matriz de coeficientes.

Primeiramente partimos do sistema que temos:

$\begin{cases} 10x_{1}+2x_2+1x_{3}=7\\ 1x_{1}+5x_2+1x_{3}=-8\\ 2x_{1}+3x_2+10x_{3}=6\\\end{cases}$

Isolamos em cada equação uma das variáveis do sistema:

$\begin{cases} x_{1}=\frac{7}{10} -\frac{2}{10}x_2-\frac{1}{10}x_{3}\\ x_2=-\frac{8}{5} -\frac{1}{5} x_{1}-\frac{1}{5} x_{3}\\ x_{3}=\frac{6}{10} -\frac{2}{10} x_{1}-\frac{3}{10} x_2\\\end{cases}$

ou

$\begin{cases} x_{1}=0,7 -0,2x_2-0,1x_{3}\\ x_2=-1,6 -0,2x_{1}-0,2 x_{3}\\ x_{3}=0,6-0,2x_{1}-0,3 x_2\\\end{cases}$

Agora, substituímos o vetor inicial [0  0  0]^T:

$\begin{cases} x_{1}=0,7 -0,2.(0)-0,1.(0)=0,7\\ x_2=-1,6 -0,2 .(0)-0,2 .(0)=-1,6\\ x_{3}=0,6-0,2.(0)-0,3 .(0)=0,6\\\end{cases}$

Com isso, obtemos o vetor [0,7  -1,6  0,6]^T.

No próximo passo, repetimos novamente o passo agora substituindo o vetor encontrado:

$\begin{cases} x_{1}=0,7 -0,2.(-1,6)-0,1.(0,6)=0,96\\ x_2=-1,6 -0,2 .(0,7)-0,2 .(0,6)=-1,86\\ x_{3}=0,6-0,2.(0,7)-0,3 .(-1,6)=0,94\\\end{cases}$

Com isso, obtemos o vetor [0,96  -1,86  0,94]^T.

Fazendo mais uma vez:

$\begin{cases} x_{1}=0,7 -0,2.(-1,86)-0,1.(0,94)=0,978\\ x_2=-1,6 -0,2 .(0,96)-0,2 .(0,94)=-1,98\\ x_{3}=0,6-0,2.(0,96)-0,3 .(-1,86)=0,966\\\end{cases}$

Dessa forma, com apenas 3 iterações, o método encontra a solução:

$x_{1} =0,978$

$x_{2} =-1,98$

$x_{3} =0,966$

(Alternativa 5)

$\dotfill$

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