Question

O método da indução finita é um procedimento matemático utilizado para provar propriedades que são verdadeiras para uma sequência de objetos DESTCH, Denise Trevisoli. CRAVEIRO, Irene Magalhães. KATO, Lilian Akemi. SCHULZ, Rodrigo André. RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá: Unicesumar, 2020. Em vista do texto acima, assinale a alternativa que apresenta corretamente a relação entre as asserções abaixo. 1 - Para todo n EN a soma dos números 1+3+5+7+...+(2n-1)+... =n² PORQUE II - Definido P(n)=1+3+5+7+...+2n-1+... =n², tem-se que P(1) é verdadeiro, pois 1=1².
alguém sabe?​

Answer 1

Resposta:

Alternativa 1:

As asserções I e II são verdadeiras e a asserção II é uma justificativa correta para I.

Explicação passo a passo:

(c) P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n

2

.

Temos que P(1), P(2), P(3), P(4), . . . , P(10) são verdadeiras.

Aqui sabemos precisamente o que significa a sentença aberta P(n),

apesar dos pontinhos na sua definição. Ela significa:

“A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n

2

.”

Você consegue visualizar algum número natural m tal que P(m)

seja falsa? Bem, após mais algumas tentativas, você se convencerá

de que esta fórmula tem grandes chances de ser verdadeira para todo

número natural n; ou seja, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Answer 2

Com o princípio da indução finita foi possível provar a validade da propriedade,1+3+5+7+...+(2n-1)+... =n².

Princípio da Solução de Indução Matemática e Prova

Considere uma afirmação P(n), onde n é um número natural. Então, para determinar a validade de P(n) para cada n, use o seguinte princípio:

• Passo 1: Verifique se a afirmação dada é verdadeira para n = 1.
• Passo 2: Assuma que dada afirmação P(n) também é verdadeira para n = k, onde k é qualquer número inteiro positivo.
• Passo 3: Prove que o resultado é verdadeiro para P(k+1) para qualquer inteiro positivo k.

Se as condições acima mencionadas forem satisfeitas, pode-se concluir que P(n) é verdadeiro para todos os n números naturais.

Vamos indicar por P(n) a propriedade a ser provada, aplicando o princípio da indução finita, temos:

1. P(1) é verdadeira, pois para n = 1 a propriedade se resume: 2 . 1 - 1 = 1²
2. Vamos provar a validade da implicação P(k) é verdadeira ⇒ P(k + 1) é verdadeira, para todo $k\in \mathbb{N}^{ *}$, isto é

$1+3+5+....+\left(2k-1\right)=k^2\Rightarrow 1+3+5+....+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)=\left(k+1\right)^2$

Temos:

$1+3+5+....+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2$

Logo, vale a implicação citada em 2. Como P(n) satisfaz (1) e (2), chegamos a conclusão que P(n) é verdadeira para todo $k\in \mathbb{N}^{ *}$.

Saiba mais sobre o princípio da indução finito:https://brainly.com.br/tarefa/53291800

#SPJ5