Question

O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo $[cos(pi/8) + isen (pi/8)]^n$ é negativa é:


Gabarito: 9


Gostaria da resolução

Answer 1

n = 9

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O conjunto dos números Complexos surgiu da necessidade de se fazer operações matemáticas não suportadas pelo conjunto dos Reais.

A ideia básica é a existência de raiz de índice par de um número negativo:

i² = -1    ou    i = √-1

No nosso caso, o complexo $[cos\frac{\pi}{8}+isen\frac{\pi}{8}]^n$ tem como ponto de interesse o ângulo $\frac{\pi}{8}$.

Marcando todos os seus múltiplos na circunferência é possível identificar que a 9ª marcação é onde surge o primeiro negativo na parte imaginária (ver figura).

De n = 1 até n = 8 a parte imaginária é ≥ 0

De n = 9 até n = 16 a parte imaginária é ≤ 0

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