Question

O menor número imteiro positivo que devemos adicionar a 987 seja o quadrado de um número inteiro é

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Michele, que questões desse tipo geralmente pedem para saber é qual o menor número inteiro deve ser multiplicado pelo número 987 para que esse novo número seja um quadrado perfeito de um número inteiro.
No caso da sua questão está pedindo é: que menor número inteiro deveremos SOMAR (em vez de multiplicar, que seria o mais comum) a 987 pra que este novo número seja o quadrado perfeito de um número inteiro.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Foi dado o número 987 e pede-se que MENOR número inteiro deveremos adicionar (ou somar) a 987 pra que o novo número seja um quadrado perfeito de um número inteiro.

ii) Veja: primeiro você calcula qual é a raiz quadrada (não exata) de 987.
Note que o número 987 está entre: 31² e 32², ou seja, temos isto:

31² < 987 < 32² --- (pois 31² = 961 e 32² = 1.024. Logo, 987 está entre esses dois números, concorda?).

Então vamos pra frente: se temos que:

31² < 987 < 32² , então deveremos somar a 987 o que falta para chegarmos a 32² = 1.024. Assim, teremos:

1.024 - 987 = 37.

Logo, deveremos somar "37" ao número "987" pra que o novo número seja um quadrado perfeito de um número inteiro (no caso do número 32).

Veja que 987 + 37 = 1.024. E 1.024 é um quadrado perfeito, pois:

√(1.024) = 32.

Então, o MENOR número inteiro que deveremos somar a "987", para que o novo número seja um quadrado perfeito de outro número inteiro, será:

37 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o menor inteiro que deveremos adicionar a 987 para que o novo número seja um quadrado perfeito de um número inteiro.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Resposta: 37.

Explicação passo-a-passo:

Questão da FUVEST-SP. As alternativas são A) 37 B) 36 C) 35 D) 34 E) 33.

Método 01: aproximações sucessivas

Uma das possibilidades de resolver essa questão sem usar calculadora é com aproximações sucessivas. "Como assim?"

O método consiste em descobrir o quadrado de vários números fáceis de calcular, com a finalidade de descobrir qual será o número que satisfaz o que buscamos.

$\begin{array}{r|r} 10^2=1\times1\times10^2=100&31^2=961\\ 20^2=2\times2\times10^2=400&\star~~32^2=1.024\\ \star~~30^2=3\times3\times10^2=900\\ 40^2=4\times4\times10^2=1.600 \end{array}$

Tem-se que maior valor inteiro próximo que retorna raiz exata é 1.024. Agora, basta uma simples equação:

$\mathtt{987+x=32^2}\\\\ \mathtt{987+x=1024}\\\\ \mathtt{x=1024-987}\\\\ \mathtt{x=37}$

A resposta correta é 37.

Método 02: algoritmo para calcular raiz não exata

Esse método começa de forma semelhante ao anterior, mas tem como intuito conhecer aproximadamente o valor da raiz de 987. É possível calcular a aproximação de uma raiz quadrada usando o seguinte algoritmo:

$\mathtt{\sqrt{n}=\dfrac{n+qp}{2\sqrt{qp}}}\\\\ \\\therefore\begin{cases} \mathtt{n:}&\mathtt{n\acute{u}mero~inicial}\\\\ \mathtt{qp:}&\mathtt{quadrado~perfeito~pr\acute{o}ximo} \end{cases}$

Nesse momento, o valor de n será 987. O quadrado perfeito próximo pode ser descoberto de forma simples:

$\begin{array}{r|r} 10^2=1\times1\times10^2=100\\ 20^2=2\times2\times10^2=400\\ \star~~30^2=3\times3\times10^2=900\\ 40^2=4\times4\times10^2=1.600 \end{array}$

O quadrado perfeito mais próximo é 300. Assim, teremos:

$\mathtt{\sqrt{n}=\dfrac{n+qp}{2\sqrt{qp}}}\\\\\\ \mathtt{\sqrt{987}=\dfrac{987+900}{2\sqrt{900}}=\dfrac{1.887}{2\times30}=\dfrac{1.887}{60}=31,45}$

Esse valor aproximado deixa claro que o próximo quadrado perfeito a ser alcançado é o quadrado de 32, então:

$\mathtt{987+x=32^2}\\\\ \mathtt{987+x=1024}\\\\ \mathtt{x=1024-987}\\\\ \mathtt{x=37}$

A resposta correta é 37.

Pensando em praticidade, o melhor método é o primeiro. Aproximações sucessivas com multiplicações tendem a ser mais rápidas que divisões.