Question

∫x√x-1 dx
Ayudaaa
Porfaaaaa

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int x. \sqrt{x - 1} dx$

Para resolver essa integral vamos usar o método da integração por partes, onde deve-se escolher a função para ser derivada e outra para ser integrada, seguindo essa lógica a função é:

$u = x \: \: e \: \: dv = \sqrt{x - 1}$

• Derivando u:

$\frac{du}{dx} = 1 \to du = dx$

• Integrando dv:

$\int dv = \int \sqrt{x - 1} \to v = \int (x - 1) {}^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \frac{(x - 1) {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1 } \to \frac{2(x - 1){}^{ \frac{3}{2} }}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os dados na integração por partes:

$\int u.dv = u.v - \int v.du \\ \\ \int x. \sqrt{x - 1} = x. \left( \frac{2(x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right) - \int \frac{2(x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right.dx \\ \\ \int x. \sqrt{x - 1} = \frac{2x(x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{2}{3} \int (x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } dx \\ \\ \int x. \sqrt{x - 1} = \frac{2x(x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{2}{3} . \frac{(x - 1) {}^{ \frac{3 }{2} + 1 } }{ \frac{3}{2} + 1} \\ \\ \int x. \sqrt{x - 1} = \frac{ 2x(x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{2}{3} . \frac{2(x - 1) {}^{ \frac{5}{2} } }{5} \\ \\ \int x. \sqrt{x - 1} = \frac{2x(x - 1) {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - \frac{4(x - 1) {}^{ \frac{5}{2} } }{15}$

Espero ter ajudado