Question

o menor inteiro positivo n para o qual a diferença √n - √n-1 fica menor que 0,01 é:

Answer 1

$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<0,01\\\\\sqrt{n}-\sqrt{n-1}<10^{-2}$

Elevando as duas partes ao quadrado:

$n-2\sqrt{n^2-n}+n-1<10^{-4}$

$2n-1-2\sqrt{n^2-n}<10^{-4}$

$2n-1-10^{-4}<2\sqrt{n^2-n}$

$n-\dfrac{1}{2}-\dfrac{10^{-4}}{2}<\sqrt{n^2-n}$

$n^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{10^{-4}}{4}-10^{-4}n-n+\dfrac{10^{-4}}{2}<n^2-n$


$\dfrac{1}{4}+\dfrac{10^{-4}}{4}-10^{-4}n+\dfrac{10^{-4}}{2}<0$

$\mbox{Multiplicando tudo por }4\cdot10^8\mbox{:}$

$10^8+1-4\cdot10^4n+2\cdot10^4<0$

$10^8+1+2\cdot10^4<4\cdot10^4n$

$4\cdot10^4n>10^8+1+2\cdot10^4$

$n>\dfrac{10^8+1+2\cdot10^4}{4\cdot10^4}$

$n>2500,500025$

Sendo que n tem de ser maior que 2500,500025, logo, o menor número inteiro que satisfaz a equação é 2501.

$\boxed{\boxed{\mathsf{2501}}}$