Question

O MDC (A,385) = 1, o MMC (B,35) = 210 e o MDC (A, B) = 3. Sabendo-se que A e B são dois números naturais e que B > a e B < 2a,
podemos afirmar que B é igual a:

a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15

Answer 1

Nenhuma das alternativas. Temos 14 soluções para este problema: seja (A, B) os pares de solução então teremos (27, 30), (27, 42), (39, 42), (111, 210), (117, 210), (123, 210), (129, 210), (141, 210), (153, 210), (159, 210), (171, 210), (177, 210), (183, 210) e (201, 210).

Para realizar este exercício vamos cruzar as 4 informações dadas.

Analisando as 5 opções dadas

Sejam as 4 informações:

1. MDC (A, 385) = 1 (ou seja, A não é divisível por 5, 7 ou 11)
2. MMC (B, 35) = 210
3. MDC (A, B) = 3 (ou seja, A≥ 3)
4. 2A > B > A

Através da informação 2 temos que B não pode ser 12 nem 9 pois nenhum deles é divisor de 120. Também temos que B não pode ser 3 e nem 15 pois MMC (2, 35) = 70 e MMC (15,35) = 105, o que contradiria a informação 2.

Através da informação 1 e 3 temos que se B = 6 então teremos que A só poderá ser igual à 6, porém se for este o caso teremos que A = B o que contradiria a informação 4.

Sendo assim temos que nenhuma das alternativas corresponde a valores válidos de A e B.

Cruzando as informações

Pela informação 1 ao fatorar o 385 encontramos 5 * 7 * 11, ou seja, sabemos que A não é divisível por nenhum destes fatores primos.

Pela informação 2 ao fatorar 210 encontramos o produto de 2, 3, 5 e 7 e ao fatorar o 35 encontramos os fatores 5 e 7. Sendo assim sabemos que B é divisível pelo menos pelos fatores 2 e 3, ou seja,

⠀⠀5. B é divisível por 6

Ainda analisando a informação 2, pela forma fatorada de 210 temos que as possibilidades para B são 3:

• 2*3*5 = 30
• 2*3*7 = 42
• 2*3*5*7 = 210

Pela informação 1, 3 e 4 podemos encontrar os candidatos para A, lembrando que pela informação 2 encontramos que B ≤ 210, ou seja, A < 210 e B ≥ 30, ou seja, 2A > 30, o que nos resulta em A > 15. Sendo assim teremos 15 < A < 210

• 3³ = 27
• 3⁴ = 81
• 3 * 13 = 39
• 3² * 13 = 117
• 3 * 17 = 51
• 3² * 17 = 153
• 3 * 19 = 57
• 3² * 19 = 171
• 3 * 23 = 69
• 3² * 23 = 207
• 3 * 29 = 87
• 3 * 31 = 93
• 3 * 37 = 111
• 3 * 41 = 123
• 3 * 43 = 129
• 3 * 47 = 141
• 3 * 53 = 159
• 3 * 59 = 177
• 3 * 61 = 183
• 3 * 67 = 201

Registrando as possibilidades

Pela informação 4 teremos as seguintes 14 soluções:

Se B = 30 então teremos que A = 27;

Se B = 42 então teremos que A ∈ {27, 39}

Se B = 210 então teremos que A ∈ {111, 117, 123, 129, 141, 153, 159, 171, 177, 183 e 201}

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#SPJ1