Question

O lucro (ou prejuízo) L(x) de uma pequena empresa é calculado pela diferença entre a receita R(x) e o custo total C(x).
Nessa empresa a receita e o custo são dados, respectivamente, pelas funções R(x) = 180x – x 2 e o C(x) = 30x + 1200, em reais, em que x representa a quantidade vendida mensalmente de determinados itens.

a) Determine a função lucro.
b) Quantos itens devem ser vendidos nessa empresa para que o lucro seja máximo?
c) Qual é o lucro máximo dessa empresa, em reais?

Answer 1

Resposta:

A) - x² + 150x - 1200

B) 75

C) R$ 4.425,00

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que lucro é =  Receita - Custo. Então fazemos:

L = 180x - x² - (30x +1200)

L = 150x - x² - 1200

Portanto a Função Lucro será: -x² + 150x - 1200

É importante já separarmos quem é o a, b e c da nossa função, pois vamos usá-los no cálculo de vértice.

A = -1       B = 150     C = -1200

A quantidade necessária para que o lucro seja máximo é feita a partir do cálculo do vértice do x. Então seria assim:

$Vx = \frac{-b}{2 . a}$

$Vx = \frac{-150}{2 . -1} = 75$

O lucro máximo é feito a partir do cálculo do vértice do y. Porém, para calcular o vértice do y, é necessário acharmos antes o valor do delta, pois ele é utilizado na fórmula.

Então achemos o delta:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = 150² - (4 . -1 . -1200)

Δ = 22500 - (4800)

Δ  = 17700

Agora o utilizaremos na fórmula do vértice do y para acharmos o lucro máximo:

$Vy = \frac{- delta}{4 . a}$

$Vy = \frac{-17700}{4. -1} = 4425$

Por fim,  fiz o gráfico. Ele mostra que, se vendermos 75 unidades, atingiremos o lucro máximo (ou ponto máximo da empresa), cujo valor será de R$ 4.425,00.

O principal disso tudo demonstrado é entender e analisar o gráfico para concluirmos e avaliar se, por exemplo, o aumento da quantidade vendida irá de fato aumentar o lucro, visto que os custos podem impedir a empresa de obter um melhor rendimento.

Espero ter ajudado :)