Question

O lucro diário L de uma empresa, na venda de x unidades de um produto, durante certo período, foi dado pela função L(x) = -x² + 12x.

a) Qual o lucro na venda de 7 unidades do produto nesse período de vendas?

b) Quantas unidades foram vendidas quando o lucro alcançado foi máximo?

Answer 1

Resposta:

Abaixo!

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

a)

Para 7 unidades:

$L(x)=-x^2+12x\\\\L(7)=-(7)^2+12(7)\\\\L(7)=-49+84\\\\\boxed{L(7)=35}$

b)

Para obtermos lucro máximo precisamos encontrar os pontos críticos da derivada da função lucro, e analisar:

$L'(x)=-2x+12\\\\L'(x)=0\\\\-2x+12=0\\\\2x=12\\\\x=\dfrac{12}{2}\\\\x=6$

Analisando o sinal da derivada:

$L'(x)>0\rightarrow x<6\;\text{crescente}\\\\L'(x)=0\rightarrow x=6\;\text{ponto critico}\\\\L'(x)<0\rightarrow x>6\;\text{decrescente}$

Veja, então, que a função cresce, passa por um ponto crítico, e depois decresce. Este ponto crítico é, portanto, ponto de MÁXIMO.

$L(6)=-(6)^2+12(6)=-36+72=36$

Foram vendidas 6 unidades para um lucro máximo de 36.

Espero ter ajudado!