Question

O lucro de uma empresa é dado por L( x )= 60(8-x).(x-5),onde x é a quantidade vendida determine o lucro máximo para uma quantidade x vendida

Answer 1

Olá!

Inicialmente, vamos reduzir a equação desta função:

L(x) = 60(8-x)(x-5)

L(x) = 60(8x - 40 - x² + 5x)

L(x) = 60(-x² + 13x - 40)

L(x) = -60x² + 780x - 2400

Chegamos então a uma equação do segundo grau. Como o termo a é negativo, significa que a "boca" da parábola está apontada para baixo.

Também significa que as raízes serão o ponto de menor lucro da empresa, e sua média será o ponto máximo, ou seja, o pico da parábola.

Vamos seguir calculando:

Δ = 780² - 4 · (-60) · (-2400)

Δ = 608400 - 576000

Δ = 32400

x₁ = $\frac{-780+\sqrt{32400} }{2.(-60)}$

x₁ = $\frac{-780+180}{-120}$

x₁ = $\frac{-600}{-120}$

x₁ = 5

x₂ = $\frac{-780-\sqrt{32400} }{2.(-60)}$

x₂ = $\frac{-780-180}{-120}$

x₂ = $\frac{-960}{-120}$

x₂ = 8

Descobrimos as raízes: 5 e 8

Agora, encontramos o ponto médio calculando:

$\frac{5+8}{2}$ =

$\frac{13}{2}$ = 6,5

Agora que descobrimos que o pico da parábola, ou seja, o lucro máximo, se encontra onde x = 6,5, podemos calcular o lucro máximo:

L(x) = -60x² + 780x - 2400

L(6,5) = -60 · (6,5)² + 780 · 6,5 - 2400

L(6,5) = -60 · 42,25 + 5070 - 2400

L(6,5) = -2535 + 5070 - 2400

L(6,5) = -2535 + 5070 - 2400

L(6,5) = 135

Resposta: O lucro máximo para a quantidade de 6,5 é igual a 135.

Abraços!