Question

o lucro de uma empresa é dado por L=-30x² +360x-600, em que x é o numero de unidades vendidas. Para que valor de x o lucro é máximo?

Answer 1

Candidatos para pontos de máximo ou mínimo:
- Pontos críticos da função (pontos onde a derivada é nula ou não existe)

Derivando a função:

$L'=-30\cdot2x^{2-1}+360\cdot1x^{1-1}-0~~~\therefore~~~L'=-60x+360$

Não há pontos onde a derivada não existe, portanto, verificaremos o ponto onde essa é nula:

$L'=0\\-60x+360=0\\60x=360\\x=360/60\\x=6$
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Vamos verificar se esse ponto é de mínimo ou máximo (ou nenhum dos 2) através do estudo de sinais da função derivada

Fazendo o estudo de sinais, chegamos em:

$L'\ \textgreater \ 0~~~~~\{x\in\mathbb{R}/x\ \textgreater \ 6\}\\L'\ \textless \ 0~~~~~\{x\in\mathbb{R}/x\ \textless \ 6\}$

Portanto, a função L é decrescente para x < 6 e crescente para x > 6, logo, o ponto (6,480) é um ponto de máximo, e esse é o máximo absoluto da função.

Resposta:

O lucro é máximo para x = 6.
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Veja que não precisava ter resolvido por derivadas, mas como é do ensino superior, é sempre bom treinar tal ferramente, pois a função dada poderia não ser tão facilmente manipulável como uma função quadrática.

Para achar o x do vértice da função quadrática (o vértice de uma função quadrática é o ponto de mínimo ou de máximo, e no caso é um ponto de máximo pois a < 0), utilizamos a fórmula:

$X_{v}=-\dfrac{b}{2a}$