Question

O logaritmo de um número X na base Y é 2. O logaritmo desse mesmo numero numa base igual a metade do anterior é 4. Nessas condições, determine os valores numéricos de X e Y

Answer 1

Olá,

use a definição sobre os dois logs dados,

$\boxed{log_ab=c\Longleftrightarrow b=a^c}$

temos que,

* o logaritmo de um número x (ou seja, o logaritmando), na base y, é 2..

$log_y(x)=2~~(i)$

* o logaritmo desse mesmo número, numa base igual a metade do logaritmo anterior é 4..

$log_{ \tfrac{y}{2} }(x)=4~~(ii)$

Podemos aplicar a definição em i e em ii:

$x=y^2~~(i)\\\\ x=\left( \dfrac{y}{2}\right)^4~~(ii)$

Vamos comparar x = x, ou seja, x assumiu dois valores, podemos iguala-los..

$y^2= \left(\dfrac{y}{2}\right)^4\\\\ y= \sqrt[2]{ \left(\dfrac{y}{2}\right)^4 }\\\\ y=\left( \dfrac{y}{2}\right)^{ \tfrac{4}{2} }\\\\ y=\left( \dfrac{y}{2}\right)^2\\\\ y= \dfrac{y^2}{4}\\\\ 4\cdot y=y^2\\ y^2-4y=0~~(EQ.~DO~2^o~grau)\\ y(y-4)=0\\\\ y'=0~~(a~base~deve~ser~>0~e~\neq 1\\\\ y-4=0\\ y''=4$

Se y vale 4, podemos achar x..

$log_y(x)=2\\ log_4(x)=2\\ x=4^2\\ x=16$

Portanto, os valores numéricos de x e y são 16 e 4 . 

Tenha ótimos estudos ;D