Question

o logaritmo de um numero em certa base é 3. o logaritmo desse mesmo número numa base igual a metade da anterior é 6. qual é o numero procurado

Answer 1

Número: x
Base: a

O logaritmo de x na base a é 3:

$log_{a}(x)=3~~~~\therefore~~~~a^{3}=x$

O logaritmo de x na base (a / 2) é 6:

$log_{(a/2)}(x)=6$
__________________________

Aplicando a definição de logaritmos no segundo:

$\left(\dfrac{a}{2}\right)^{6}=x\\\\\\x=\dfrac{a^{6}}{2^{6}}\\\\\\x=\dfrac{(a^{3})^{2}}{64}$

Como a³ = x:

$x=\dfrac{x^{2}}{64}~~~\therefore~~~x^{2}=64x~~~\therefore~~~x^{2}-64x=0~~~\therefore~~~x(x-64)=0$

Então, x pode ser:

$x=0$

ou

$x-64=0~~~\therefore~~~x=64$

Como o logaritmando não pode ser zero:

$\boxed{\boxed{x=64}}$