Question

O líquido contido em uma esfera de raio R deverá ser colocado em copos cônicos. Sabendo-se que o diâmetro da base e a altura de cada copo medem R/2, calcule o número de copos necessários.

Answer 1

A quantidade "q" de copos necessários será dada pela razão:

$\displaystyle q = \frac{V}{v}$

Na qual V é o volume da esfera e v o volume de um copo cônico.

O volume de uma esfera é dado pela fórmula:

$\displaystyle V = \frac{4 \pi R^3}{3}$

O volume de um cone é expresso assim:

$\displaystyle v = \frac{A_b \cdot h}{3}$

Em que Ab é a área de sua base (πr²) e h é sua altura. Dessa forma, temos:

$\displaystyle v = \frac{\pi r^2 \cdot \frac{R}{2}}{3}$

O diâmetro do cone é R/2, logo seu raio será:
R/2 ÷ 2 = R/2 • 1/2 = R/4:

$\displaystyle v = \frac{\pi \cdot (\frac{R}{4})^2 \cdot \frac{R}{2}}{3}$

$\displaystyle v = \frac{\pi \cdot \frac{R^2}{16} \cdot \frac{R}{2}}{3}$

$\displaystyle v = \frac{\pi \cdot \frac{R^3}{32}}{3}$

$\displaystyle v = \frac{ \pi R^3}{32} \cdot \frac{1}{3}$

$\displaystyle v = \frac{\pi R^3}{96}$

Encontrados os valores, temos que "q" será:

$\displaystyle q = \frac{\frac{4 \not\pi \not{R^3}}{3}}{\frac{\not\pi \not{R^3}}{96}}$

$\displaystyle q = \frac{4}{3} \cdot \frac{96}{1}$

$\displaystyle q = 4 \cdot 32$

$\displaystyle q = 128 \, \mathrm {copos}$

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