Question

O limite da soma (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) + (1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...) é igual a?

Answer 1

              a1
Sn = -------------
           1 - q
========================
               1
Sn = --------------
           1 - 1/2
=====================
               1
Sn =    -------   =   2
             1/2
///////////////////////////////////////////
                 1
Sn = -------------------
             1   -   1/3
===================================
                  1
sn = ---------------------   = 3/2
                  2/3
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Lim = 2 + 3/2
====================
         4    +    3            
lim = ----------------   =   7/2
               2

Answer 2

A soma da série geométrica é dada por

$\sum_{i=1}^{n}{a_{0}\cdot q^{i-1}}=\frac{a_{0}\cdot \left(1-q^{n})}{1-q}$


Se a razão $q$ da série tiver módulo menor que $1$, então a série infinita converge. Veja

$\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}{a_{0}\cdot q^{i-1}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{0}\cdot \left(1-q^{n})}{1-q}\\ \\ \sum_{i=1}^{\infty}{a_{0}\cdot q^{i-1}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_{0}\cdot \left(1-q^{n})}{1-q}\\ \\ \sum_{i=1}^{\infty}{a_{0}\cdot q^{i-1}}=\frac{a_{0}\cdot \left(1-0)}{1-q}\\ \\ \boxed{\sum_{i=1}^{\infty}{a_{0}\cdot q^{i-1}}=\frac{a_{0}}{1-q}}$


Para a nossa expressão o limite da soma é

$S=\sum_{i=1}^{\infty}{1 \cdot \left(\frac{1}{2} \right )^{i-1}}+\sum_{i=1}^{\infty}{1 \cdot \left(\frac{1}{3} \right )^{i-1}}\\ \\ =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\\ \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{2}{3}}\\ \\ =2+\frac{3}{2}\\ \\ =\boxed{\frac{7}{2}}$