Question

o limite abaixo é igual a

lim x->0 sen(3x) - x²cos(1/x)/x

Answer 1

Temos o seguinte limite trigonométrico:

$\sf\lim_{ x \to 0} \frac{sen(3x) - x {}^{2} cos \left( \frac{1}{ x} \right)}{x}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende, para a partir disso tirar a nossa conclusão:

$\sf \frac{sen(3.0) - 0 {}^{2} .cos \left( \frac{1}{0} \right)}{0} = \frac{sen(0) - 0}{0} = \boxed{\sf \frac{0}{0} }$

Observe que surgiu uma indeterminado do tipo 0/0, então devemos fazer alguma manipulação algébrica que faça com que a mesma suma. Para remover essa indeterminação usaremos a Regra de L'Hôpital que diz que quando tem-se indeterminações do tipo:

$\sf \lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: \: ou \: \: \: \lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty }$

Note que essa indeterminação citada é igual a que obtemos, então podemos usar sim essa regra. Caso as condições sejam cumpridas deve-se fazer:

$\sf\lim_{x\to p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to p} \frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)}$

Aplicando essa instrução:

$\sf\lim_{ x \to 0} \frac{sen(3x) - x {}^{2} cos \left( \frac{1}{ x} \right)}{x} = \sf\lim_{ x \to 0} \frac{ \frac{d}{dx}( sen(3x) - x {}^{2} cos \left( \frac{1}{ x} \right))}{ \frac{d}{dx} x}$

Derivando o numerador:

$\sf \frac{d}{dx} sen(3x) = 3.cos(3x)$

Note que ainda no numerador tem-se um produto de duas funções, ou seja, devemos derivar usando a regra do produto:

$\sf \frac{d}{dx} x {}^{2} .cos( \frac{1}{x} ) + x {}^{2} . \frac{d}{dx} cos( \frac{1}{x} ) \\ \\ \sf 2x.cos (\frac{1}{x} ) + x {}^{2} . \frac{ - sen( \frac{1}{x}) }{x {}^{2} } \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2x.cos( \frac{1}{x} ) - sen (\frac{1}{x} ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Derivando o denominador:

$\sf \frac{d}{dx} x = 1$

Substituindo esses dados:

$\sf\lim_{ x \to 0} \frac{3.cos(3x) - 2x.cos( \frac{1}{x}) - sen( \frac{1}{x} )}{1} \\ \\ \sf\lim_{x\to 0}3.cos(3x) - 2x.cos( \frac{1}{x}) - sen (\frac{1}{x} )$

Provável que tenhamos sumido com a indeterminação, então vamos substituir o valor de "x" mais uma vez:

$\sf 3.cos(3.0) - 2.0.cos( \frac{1}{0} ) - sen( \frac{1}{0} ) \\ \sf 3.1 - 0 - sen \frac{1}{0} \: \: \: \\ \sf 3 - sen \frac{1}{0}$

Nesse caso não é uma indeterminação, mesmo que a regra de L'Hôpital nos permita derivar a função até sumir com essa indeterminação, a expressão (1/x) não desaparecerá nunca nessas derivações, então podemos dizer que esse limite não existe.

$\boxed{ \sf\lim_{ x \to 0} \frac{sen(3x) - x {}^{2} cos \left( \frac{1}{ x} \right)}{x} = \nexists}$

Espero ter ajudado