Question

O lim x→8 tal que a função x-8/x²-5x-24 é igual á:

a) -1/11
b) 0
c) 1/11
d) -11
e) 11

Answer 1

Olá!

Temos:
lim   x-8/x²-5x-24 -> Vamos tentar aplicar o valor 8 na função. Temos:
x->8
lim   8-8/8²-5.8-24 = 0/0 (Indeterminação) -> Vamos tentar escapar:
x->8 
lim  x-8/x²-5x-24 -> Vamos trabalhar com a função f(x) = x²-5x-24. 
x->8

Sobre ela:
f(x) = x²-5x-24 -> Podemos descobrir as raízes por meio de Soma e Produto, podendo escrever a função da forma: f(x) = a(x-x')(x-x''), que é a forma fatorada. Temos:
S = _+_ = -b/a = -(-5)/1 = 5
P = _._ = c/a = -24/1 = -24
Pensando em dois números cujo produto resulte em 24, encontramos 3 e 8. Como temos -24, os números são, possivelmente -3 e 8 ou 3 e -8. Chequemos agora a soma. A única solução será:
x' = -3
x'' = 8 -> Pois: 8+(-3) = 8-3 = 5; 8.(-3) = -24

Logo, podemos reescrever f(x) como sendo:
f(x) = [x-(-3)](x-8) = (x+3)(x-8) -> Voltando, tínhamos:

lim   x-8/x²-5x-24 = lim   x-8/(x+3)(x-8) = lim   1/x+3 -> Calculando:
x->8                        x->8                          x->8

lim   1/x+3 = 1/8+3 = 1/11
x->8

∴ Alternativa C

Espero ter ajudado! :)