Question

O indutor é um componente amplamente usado em circuitos elétricos, eletrônicos e digitais, para armazenar energia através de um campo magnético. A forma como ele atua é interessante. Esse componente é capaz de produzir o que chamamos de autoindução. Esse fenômeno, no qual um campo eletromagnético é gerado pela corrente em um circuito, induz uma tensão no próprio circuito. A essa tensão damos o nome de f.e.m (força eletromotriz) que está representada pela v(s), sendo proporcional ao valor da indutância que a bobina é capaz de produzir. O valor da indutância dependerá diretamente da quantidade de espiras e da sua área, conforme pode ser visto pela equação ilustrada na figura-1 a seguir: L = (mi0 N² A)/l A tensão V(t) da figura-1 pode ser obtida pelo produto da indutância L pela variação da corrente ao longo do tempo, conforme pode ser visto pela seguinte derivada V(t) = L (di/dt) Partindo-se dessa derivada, que permite obter a tensão V(t), assinale a alternativa que apresenta corrente a integral que permitirá obter-se a corrente i(t): -- figura e alternativas em anexo

Answer 1

Tal como referido no texto, tem-se a relação:

$V(t) = L \dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t}.$

Começamos por resolver em ordem a $\dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t}$:

$V(t) = L \dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} \iff \dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} = \dfrac{1}{L}V(t).$

Integramos ambos os lados da igualdade em ordem a $t$, com $t \in [0, T]$:

$\displaystyle\dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} = \dfrac{1}{L}V(t) \iff \int\limits_0^T\dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} \textrm{ d}t = \dfrac{1}{L}\int\limits_0^T V(t)\textrm{ d}t.$

Note-se que $L$ pode sair do integral, uma vez que depende apenas de características fixas do circuito e não depende do tempo.

Do teorema fundamental do cálculo, vem:

$\displaystyle\int_0^T\dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} \textrm{ d}t = i(T) - i(0).$

Assim, podemos escrever:

$\displaystyle\int\limits_0^T\dfrac{\textrm{d}i}{\textrm{d}t} \textrm{ d}t = \dfrac{1}{L}\int\limits_0^T V(t)\textrm{ d}t \iff i(T) - i(0) = \dfrac{1}{L}\int\limits_0^T V(t)\textrm{ d}t.$

Admitindo agora que no instante inicial a corrente é nula, toma-se $i(0) = 0$, pelo que se obtém:

$\displaystyle \boxed{i(T) = \dfrac{1}{L}\int\limits_0^T V(t)\textrm{ d}t}.$

Answer 2

Resposta:

Correta abaixo em anexo.